Номер 17.7, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.7, страница 105.

17.7. a) $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}} 50x;$

б) $\log_{0.3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0.3}(10x - 7);$

в) $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x);$

г) $\log_{0.2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0.2}(-x - 31).$

а) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}}50x$.
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. Это преобразование является равносильным при условии, что выражения под знаком логарифма положительны. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
$7x^2 - 200 = 50x$
ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} 7x^2 - 200 > 0 \\ 50x > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $50x > 0$ сразу получаем $x > 0$. Это упрощает проверку корней.
Теперь решим полученное квадратное уравнение:
$7x^2 - 50x - 200 = 0$
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-200) = 2500 + 5600 = 8100$.
$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 90}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $10 > 0$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $7(10)^2 - 200 = 700 - 200 = 500 > 0$. Следовательно, $x = 10$ является решением.
Корень $x_2 = -\frac{20}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Ответ: $10$.

б) Исходное уравнение: $\log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0,3}(10x - 7)$.
Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$-x^2 + 5x + 7 = 10x - 7$
ОДЗ: $\begin{cases} -x^2 + 5x + 7 > 0 \\ 10x - 7 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $10x - 7 > 0$ получаем $10x > 7$, то есть $x > 0.7$.
Решаем уравнение:
$-x^2 + 5x + 7 - 10x + 7 = 0$
$-x^2 - 5x + 14 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 + 5x - 14 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
$\sqrt{D} = 9$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 0.7$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 0.7$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $-(2)^2 + 5(2) + 7 = -4 + 10 + 7 = 13 > 0$. Значит, $x = 2$ является решением.
Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 > 0.7$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $2$.

в) Исходное уравнение: $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x)$.
$\lg$ — это десятичный логарифм ($\log_{10}$). Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$x^2 - 8 = 2 - 9x$
ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 8 > 0 \\ 2 - 9x > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $2 - 9x > 0$ получаем $2 > 9x$, то есть $x < \frac{2}{9}$.
Решаем уравнение:
$x^2 + 9x - 8 - 2 = 0$
$x^2 + 9x - 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $-10$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x < \frac{2}{9}$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 < \frac{2}{9}$, так как $\frac{2}{9} \approx 0.22$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -10$ удовлетворяет условию $-10 < \frac{2}{9}$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $(-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 > 0$. Значит, $x = -10$ является решением.
Ответ: $-10$.

г) Исходное уравнение: $\log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0,2}(-x - 31)$.
Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$-x^2 + 4x + 5 = -x - 31$
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} -x^2 + 4x + 5 > 0 \\ -x - 31 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $-x^2 + 4x + 5 > 0$. Для этого найдем корни уравнения $-x^2 + 4x + 5 = 0$, или $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=5, x_2=-1$. Так как это парабола с ветвями вниз, неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.
Решим второе неравенство: $-x - 31 > 0 \implies -x > 31 \implies x < -31$.
Теперь найдем общее решение для системы ОДЗ:
$\begin{cases} -1 < x < 5 \\ x < -31 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно в интервале $(-1; 5)$ и меньше $-31$. Область допустимых значений пуста. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Можно также сначала решить уравнение, а потом проверить корни.
$-x^2 + 4x + 5 = -x - 31$
$-x^2 + 5x + 36 = 0$
$x^2 - 5x - 36 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1=9$ и $x_2=-4$.
Проверим их по ОДЗ, например, по условию $x < -31$.
$x_1=9$ не удовлетворяет условию $9 < -31$.
$x_2=-4$ не удовлетворяет условию $-4 < -31$.
Оба корня являются посторонними.
Ответ: корней нет.