Номер 17.1, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.1, страница 104.

Решите уравнение:

17.1. a) $\log_2 x = 3;$

б) $\log_7 x = -1;$

в) $\log_{0.3} x = 2;$

г) $\log_{16} x = \frac{1}{2}.$

а)

Дано логарифмическое уравнение $\log_2 x = 3$.

Для решения воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ равносильно $b = a^c$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, а аргумент $b > 0$.

В данном уравнении основание $a=2$, значение логарифма $c=3$. Тогда аргумент $x$ можно найти, возведя основание в степень, равную значению логарифма:

$x = 2^3$

Вычислим значение степени:

$x = 8$

Аргумент логарифма должен быть положительным, $x = 8 > 0$, что удовлетворяет области определения логарифмической функции.

Ответ: $8$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $\log_7 x = -1$.

Применяя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$), находим $x$:

$x = 7^{-1}$

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$x = \frac{1}{7}$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $\frac{1}{7} > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{0.3} x = 2$.

Согласно определению логарифма, мы можем записать:

$x = (0.3)^2$

Вычислим значение:

$x = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $0.09 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $0.09$.

г)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{16} x = \frac{1}{2}$.

Используя определение логарифма, получаем:

$x = 16^{\frac{1}{2}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:

$x = \sqrt{16}$

Вычисляем значение корня:

$x = 4$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $4 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $4$.