Номер 16.65, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.65, страница 104.

16.65. a) $\log_{bk} ak = \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k}$;

б) $\frac{1}{\log_a k} + \frac{1}{\log_{a^2} k} + \frac{1}{\log_{a^3} k} + \frac{1}{\log_{a^4} k} + \frac{1}{\log_{a^5} k} = 15 \log_k a$.

а) Докажем тождество: $ \log_{bk} ak = \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k} $

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $. В качестве нового основания $ z $ выберем $ b $, так как в правой части равенства логарифмы имеют основание $ b $.

$ \log_{bk} ak = \frac{\log_b (ak)}{\log_b (bk)} $

Далее применим свойство логарифма произведения $ \log(xy) = \log x + \log y $ к числителю и знаменателю полученной дроби:

$ \frac{\log_b (ak)}{\log_b (bk)} = \frac{\log_b a + \log_b k}{\log_b b + \log_b k} $

Поскольку логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $ \log_b b = 1 $, мы можем упростить знаменатель:

$ \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k} $

В результате преобразований мы получили выражение, полностью совпадающее с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \frac{1}{\log_a k} + \frac{1}{\log_{a^2} k} + \frac{1}{\log_{a^3} k} + \frac{1}{\log_{a^4} k} + \frac{1}{\log_{a^5} k} = 15 \log_k a $

Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся свойством логарифма $ \frac{1}{\log_x y} = \log_y x $ для каждого слагаемого в сумме. Это позволит нам привести все логарифмы к одному основанию $ k $.

$ \frac{1}{\log_a k} = \log_k a $

$ \frac{1}{\log_{a^2} k} = \log_k (a^2) $

$ \frac{1}{\log_{a^3} k} = \log_k (a^3) $

$ \frac{1}{\log_{a^4} k} = \log_k (a^4) $

$ \frac{1}{\log_{a^5} k} = \log_k (a^5) $

Подставив эти выражения в левую часть исходного равенства, получим сумму:

$ \log_k a + \log_k (a^2) + \log_k (a^3) + \log_k (a^4) + \log_k (a^5) $

Теперь применим свойство степени логарифма $ \log_x (y^n) = n \log_x y $ к каждому члену суммы:

$ \log_k a + 2\log_k a + 3\log_k a + 4\log_k a + 5\log_k a $

Вынесем общий множитель $ \log_k a $ за скобки:

$ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \log_k a $

Вычислим сумму чисел в скобках. Это сумма арифметической прогрессии:

$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $

Таким образом, левая часть равенства преобразуется к виду:

$ 15 \log_k a $

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.