Номер 16.64, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.64, страница 104.

Докажите тождество:

•16.64. a) $b^{\log_a c} = c^{\log_a b}$, если $a, b, c$ — положительные числа, отличные от 1;

б) $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$, если $m, p, q, k$ — положительные числа, отличные от 1.

а) Требуется доказать тождество $b^{\log_a c} = c^{\log_a b}$ при условии, что $a, b, c$ — положительные числа, отличные от 1.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $x = y^{\log_y x}$. Представим основание $b$ в виде степени с основанием $a$:

$b = a^{\log_a b}$

2. Подставим это выражение для $b$ в левую часть доказываемого тождества:

$b^{\log_a c} = (a^{\log_a b})^{\log_a c}$

3. Применим свойство степени «степень в степени» $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{\log_a b})^{\log_a c} = a^{(\log_a b) \cdot (\log_a c)}$

4. Поскольку умножение коммутативно (от перемены мест множителей произведение не меняется), мы можем поменять сомножители в показателе степени местами:

$a^{(\log_a b) \cdot (\log_a c)} = a^{(\log_a c) \cdot (\log_a b)}$

5. Теперь применим свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ в обратном порядке:

$a^{(\log_a c) \cdot (\log_a b)} = (a^{\log_a c})^{\log_a b}$

6. В выражении в скобках снова применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a c} = c$:

$(a^{\log_a c})^{\log_a b} = c^{\log_a b}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества $b^{\log_a c}$ и получили правую часть $c^{\log_a b}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$ при условии, что $m, p, q, k$ — положительные числа, отличные от 1.

Для доказательства этого тождества мы можем прологарифмировать обе его части по основанию $p$. Эта операция является корректной, так как по условию обе части равенства являются положительными числами.

Пусть левая часть $L = (m^k)^{\log_p q}$, а правая часть $R = q^{\log_p m^k}$. Найдем $\log_p L$ и $\log_p R$.

1. Логарифмируем левую часть:

$\log_p L = \log_p((m^k)^{\log_p q})$

Используя свойство логарифма степени $\log_b(x^y) = y \cdot \log_b x$, вынесем показатель степени $\log_p q$ за знак логарифма:

$\log_p L = (\log_p q) \cdot \log_p(m^k)$

Теперь применим то же свойство к $\log_p(m^k)$, вынеся показатель $k$:

$\log_p L = (\log_p q) \cdot (k \cdot \log_p m) = k \cdot \log_p q \cdot \log_p m$

2. Логарифмируем правую часть:

$\log_p R = \log_p(q^{\log_p m^k})$

Используя свойство логарифма степени, вынесем показатель $\log_p m^k$ за знак логарифма:

$\log_p R = (\log_p m^k) \cdot \log_p q$

Применим свойство логарифма степени к $\log_p m^k$:

$\log_p R = (k \cdot \log_p m) \cdot \log_p q = k \cdot \log_p m \cdot \log_p q$

3. Сравним полученные выражения. Мы видим, что $\log_p L = \log_p R$.

$\log_p L = k \cdot \log_p q \cdot \log_p m$

$\log_p R = k \cdot \log_p m \cdot \log_p q$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов двух положительных чисел следует равенство самих этих чисел. То есть, из $\log_p L = \log_p R$ следует, что $L=R$.

Следовательно, $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.