Номер 16.58, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.58, страница 103.

16.58. Известно, что $\log_2 5 = a$, $\log_2 3 = b$. Найдите:

а) $\log_3 15$;

б) $\log_8 75$;

в) $\log_{16} 45$;

г) $\log_{15} 12$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_{x}y = \frac{\log_{z}y}{\log_{z}x} $. В качестве нового основания $z$ удобно выбрать 2, так как в условии даны логарифмы по основанию 2: $ \log_{2}5 = a $ и $ \log_{2}3 = b $. Также нам понадобятся свойства логарифмов: $ \log_{c}(xy) = \log_{c}x + \log_{c}y $ и $ \log_{c}(x^k) = k\log_{c}x $.

а) $\log_{3}15$

Применим формулу перехода к основанию 2:

$ \log_{3}15 = \frac{\log_{2}15}{\log_{2}3} $

Знаменатель нам известен по условию: $ \log_{2}3 = b $.

Преобразуем числитель. Представим число 15 в виде произведения $ 3 \cdot 5 $:

$ \log_{2}15 = \log_{2}(3 \cdot 5) = \log_{2}3 + \log_{2}5 $

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$ \log_{2}15 = b + a $

Теперь соберем все вместе:

$ \log_{3}15 = \frac{a+b}{b} $

Ответ: $ \frac{a+b}{b} $

б) $\log_{8}75$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{8}75 = \frac{\log_{2}75}{\log_{2}8} $

Преобразуем числитель. Разложим 75 на множители: $ 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 $.

$ \log_{2}75 = \log_{2}(3 \cdot 5^2) = \log_{2}3 + \log_{2}(5^2) = \log_{2}3 + 2\log_{2}5 $

Подставляем известные значения:

$ \log_{2}75 = b + 2a $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 8 = 2^3 $.

$ \log_{2}8 = \log_{2}(2^3) = 3\log_{2}2 = 3 \cdot 1 = 3 $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{8}75 = \frac{2a+b}{3} $

Ответ: $ \frac{2a+b}{3} $

в) $\log_{16}45$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{16}45 = \frac{\log_{2}45}{\log_{2}16} $

Преобразуем числитель. Разложим 45 на множители: $ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $.

$ \log_{2}45 = \log_{2}(3^2 \cdot 5) = \log_{2}(3^2) + \log_{2}5 = 2\log_{2}3 + \log_{2}5 $

Подставляем известные значения:

$ \log_{2}45 = 2b + a $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 16 = 2^4 $.

$ \log_{2}16 = \log_{2}(2^4) = 4\log_{2}2 = 4 \cdot 1 = 4 $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{16}45 = \frac{a+2b}{4} $

Ответ: $ \frac{a+2b}{4} $

г) $\log_{15}12$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{15}12 = \frac{\log_{2}12}{\log_{2}15} $

Преобразуем числитель. Разложим 12 на множители: $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $.

$ \log_{2}12 = \log_{2}(2^2 \cdot 3) = \log_{2}(2^2) + \log_{2}3 = 2\log_{2}2 + \log_{2}3 = 2 \cdot 1 + b = 2+b $

Преобразуем знаменатель. Разложим 15 на множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $.

$ \log_{2}15 = \log_{2}(3 \cdot 5) = \log_{2}3 + \log_{2}5 = b + a $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{15}12 = \frac{2+b}{a+b} $

Ответ: $ \frac{2+b}{a+b} $