Номер 16.56, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.56, страница 103.

16.56. Известно, что $\log_2 3 = a$. Найдите:

а) $\log_4 9$;

б) $\log_8 18$;

в) $\log_4 81$;

г) $\log_8 54$.

а) $\log_4 9$

Для решения задачи будем использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b} $. В качестве нового основания $d$ удобно выбрать 2, так как нам дано значение $ \log_2 3 = a $.

Применим эту формулу к выражению $ \log_4 9 $:

$ \log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} $

Теперь преобразуем числитель и знаменатель, используя свойство логарифма степени $ \log_b(x^p) = p \log_b x $:

Числитель: $ \log_2 9 = \log_2 (3^2) = 2 \log_2 3 = 2a $.

Знаменатель: $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $.

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$ \log_4 9 = \frac{2a}{2} = a $.

Ответ: $a$

б) $\log_8 18$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_8 18 $:

$ \log_8 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 8} $

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма произведения $ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y $:

$ \log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 9) = \log_2 2 + \log_2 9 = 1 + \log_2(3^2) = 1 + 2\log_2 3 = 1 + 2a $.

Преобразуем знаменатель:

$ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_8 18 = \frac{1 + 2a}{3} $.

Ответ: $\frac{1 + 2a}{3}$

в) $\log_4 81$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_4 81 $:

$ \log_4 81 = \frac{\log_2 81}{\log_2 4} $

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $ \log_2 81 = \log_2 (3^4) = 4 \log_2 3 = 4a $.

Знаменатель: $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_4 81 = \frac{4a}{2} = 2a $.

Ответ: $2a$

г) $\log_8 54$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_8 54 $:

$ \log_8 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 8} $

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма произведения:

$ \log_2 54 = \log_2 (2 \cdot 27) = \log_2 2 + \log_2 27 = 1 + \log_2(3^3) = 1 + 3\log_2 3 = 1 + 3a $.

Преобразуем знаменатель:

$ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_8 54 = \frac{1 + 3a}{3} $.

Ответ: $\frac{1 + 3a}{3}$