Номер 16.59, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.59, страница 103.

16.59. a) Найдите $\log_{100} 40$, если известно, что $\log_2 5 = a$.

б) Найдите $\log_{63} 147$, если известно, что $\log_3 7 = b$.

а)

Для того чтобы выразить $\log_{100} 40$ через $a = \log_2 5$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Поскольку дан логарифм по основанию 2, перейдем к этому же основанию:

$$ \log_{100} 40 = \frac{\log_2 40}{\log_2 100} $$

Преобразуем числитель дроби. Для этого разложим число 40 на множители, удобные для логарифмирования по основанию 2: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. Используя свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени), получаем:

$$ \log_2 40 = \log_2 (2^3 \cdot 5) = \log_2 (2^3) + \log_2 5 = 3 \log_2 2 + \log_2 5 $$

Так как $\log_2 2 = 1$ и по условию $\log_2 5 = a$, выражение для числителя будет: $3 \cdot 1 + a = 3 + a$.

Теперь преобразуем знаменатель. Разложим число 100 на множители: $100 = 4 \cdot 25 = 2^2 \cdot 5^2$. Используя те же свойства логарифмов:

$$ \log_2 100 = \log_2 (2^2 \cdot 5^2) = \log_2 (2^2) + \log_2 (5^2) = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 5 $$

Подставляя $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 5 = a$, получаем выражение для знаменателя: $2 \cdot 1 + 2a = 2 + 2a = 2(1 + a)$.

Соединяем числитель и знаменатель:

$$ \log_{100} 40 = \frac{3 + a}{2 + 2a} $$

Ответ: $\frac{3 + a}{2(1 + a)}$

б)

Чтобы выразить $\log_{63} 147$ через $b = \log_3 7$, перейдем к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию:

$$ \log_{63} 147 = \frac{\log_3 147}{\log_3 63} $$

Преобразуем числитель дроби. Разложим число 147 на простые множители: $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$. Применим свойства логарифмов:

$$ \log_3 147 = \log_3 (3 \cdot 7^2) = \log_3 3 + \log_3 (7^2) = 1 + 2\log_3 7 $$

По условию $\log_3 7 = b$, поэтому числитель равен $1 + 2b$.

Преобразуем знаменатель. Разложим число 63 на простые множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$. Применим свойства логарифмов:

$$ \log_3 63 = \log_3 (3^2 \cdot 7) = \log_3 (3^2) + \log_3 7 = 2\log_3 3 + \log_3 7 $$

Так как $\log_3 3 = 1$ и $\log_3 7 = b$, знаменатель равен $2 \cdot 1 + b = 2 + b$.

Собираем дробь:

$$ \log_{63} 147 = \frac{1 + 2b}{2 + b} $$

Ответ: $\frac{1 + 2b}{2 + b}$