Номер 16.63, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.63, страница 103.

16.63. a) $0.2 \cdot (2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}});$

б) $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2 \cdot \log_{ab} a} \cdot \sqrt{\log_a^3 b}.$

а)

Упростим выражение $0,2 \cdot (2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}})$, преобразовав каждое слагаемое в скобках.

1. Рассмотрим первое слагаемое $2a^{\log_2 b}$. Воспользуемся свойством степени $x^{\log_y z} = z^{\log_y x}$. Применим его к выражению $a^{\log_2 b}$:

$a^{\log_2 b} = b^{\log_2 a}$

Таким образом, первое слагаемое равно $2b^{\log_2 a}$.

2. Рассмотрим второе слагаемое $3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}}$. Упростим показатель степени, используя свойство логарифма $\log_{c^k} x^m = \frac{m}{k}\log_c x$:

$\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a} = \log_{2^{1/2}} a^{1/2} = \frac{1/2}{1/2}\log_2 a = 1 \cdot \log_2 a = \log_2 a$

Таким образом, второе слагаемое равно $3b^{\log_2 a}$.

3. Подставим преобразованные выражения обратно в скобки:

$2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}} = 2b^{\log_2 a} + 3b^{\log_2 a} = (2+3)b^{\log_2 a} = 5b^{\log_2 a}$

4. Теперь выполним умножение:

$0,2 \cdot (5b^{\log_2 a}) = (0,2 \cdot 5) \cdot b^{\log_2 a} = 1 \cdot b^{\log_2 a} = b^{\log_2 a}$

Ответ: $b^{\log_2 a}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2} \cdot \log_{ab} a \cdot \sqrt{\log_a^3 b}$.

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов $a$ и $b$ должны быть больше 0 и не равны 1. Также $ab \neq 1$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными.

Из условия $\sqrt{\log_{a^3} b}$ следует, что $\log_{a^3} b \ge 0$. Преобразуем это выражение: $\frac{1}{3}\log_a b \ge 0$, откуда $\log_a b \ge 0$. Так как $b \neq 1$, то получаем строгое неравенство $\log_a b > 0$.

Если $\log_a b > 0$, то и $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} > 0$. Тогда выражение под первым корнем $\log_a b + \log_b a + 2$ заведомо положительно как сумма положительных чисел. Таким образом, ОДЗ определяется условием $\log_a b > 0$.

2. Преобразуем каждый множитель, введя замену $x = \log_a b$, где $x > 0$.

3. Первый множитель: $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2}$.

$\log_a b + \log_b a + 2 = x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$

$\sqrt{\frac{(x+1)^2}{x}} = \frac{|x+1|}{\sqrt{x}}$. Так как $x > 0$, то $x+1 > 0$ и $|x+1|=x+1$. Получаем $\frac{x+1}{\sqrt{x}}$.

В исходных переменных: $\frac{\log_a b + 1}{\sqrt{\log_a b}}$.

4. Второй множитель: $\log_{ab} a$. Перейдем к основанию $a$:

$\log_{ab} a = \frac{\log_a a}{\log_a(ab)} = \frac{1}{\log_a a + \log_a b} = \frac{1}{1 + \log_a b} = \frac{1}{1+x}$.

5. Третий множитель: $\sqrt{\log_{a^3} b}$. Преобразуем логарифм:

$\log_{a^3} b = \frac{1}{3}\log_a b = \frac{x}{3}$.

$\sqrt{\log_{a^3} b} = \sqrt{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}$.

6. Перемножим полученные выражения:

$\frac{x+1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Сокращаем $(x+1)$ и $\sqrt{x}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.