Номер 16.61, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.61, страница 103.

16.61. a) Найдите $\log_2 360$, если известно, что $\log_3 20 = a$, $\log_3 15 = b$.

б) Найдите $\log_{275} 60$, если известно, что $\log_{12} 5 = a$, $\log_{12} 11 = b$.

а) Дано: $\log_3 20 = a$ и $\log_3 15 = b$.

Для решения задачи приведем все логарифмы к общему основанию 3. Сначала преобразуем данные выражения, чтобы выразить через них логарифмы от простых чисел.

$a = \log_3 20 = \log_3(2^2 \cdot 5) = 2\log_3 2 + \log_3 5$

$b = \log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$

Из второго уравнения находим $\log_3 5$:

$\log_3 5 = b - 1$

Подставляем полученное значение в первое уравнение, чтобы найти $\log_3 2$:

$a = 2\log_3 2 + (b - 1)$

$2\log_3 2 = a - b + 1 \implies \log_3 2 = \frac{a - b + 1}{2}$

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию для искомого выражения $\log_2 360$:

$\log_2 360 = \frac{\log_3 360}{\log_3 2}$

Разложим число 360 на простые множители: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Выразим числитель:

$\log_3 360 = \log_3(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5) = 3\log_3 2 + 2\log_3 3 + \log_3 5 = 3\log_3 2 + 2 + \log_3 5$

Подставим в это выражение найденные ранее $\log_3 2$ и $\log_3 5$:

$\log_3 360 = 3\left(\frac{a - b + 1}{2}\right) + 2 + (b - 1) = \frac{3a - 3b + 3}{2} + b + 1 = \frac{3a - 3b + 3 + 2(b+1)}{2} = \frac{3a - 3b + 3 + 2b + 2}{2} = \frac{3a - b + 5}{2}$

Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в формулу для $\log_2 360$:

$\log_2 360 = \frac{\frac{3a - b + 5}{2}}{\frac{a - b + 1}{2}} = \frac{3a - b + 5}{a - b + 1}$

Ответ: $\frac{3a - b + 5}{a - b + 1}$

б) Дано: $\log_{12} 5 = a$ и $\log_{12} 11 = b$.

Чтобы найти $\log_{275} 60$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Удобно выбрать основание 12, так как оно используется в данных выражениях.

$\log_{275} 60 = \frac{\log_{12} 60}{\log_{12} 275}$

Выразим числитель, используя свойства логарифмов и данные задачи. Заметим, что $60 = 12 \cdot 5$.

$\log_{12} 60 = \log_{12}(12 \cdot 5) = \log_{12} 12 + \log_{12} 5 = 1 + a$

Теперь выразим знаменатель. Разложим 275 на множители: $275 = 25 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11$.

$\log_{12} 275 = \log_{12}(5^2 \cdot 11) = \log_{12}(5^2) + \log_{12} 11 = 2\log_{12} 5 + \log_{12} 11 = 2a + b$

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$\log_{275} 60 = \frac{1 + a}{2a + b}$

Ответ: $\frac{a + 1}{2a + b}$