Номер 16.52, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.52, страница 102.

16.52. a) $ \log_2 6 $ и $ \log_4 5 $;

б) $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{4}} 1,5 $;

в) $ \log_9 6 $ и $ \log_3 7 $;

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 4 $ и $ \log_{\frac{1}{9}} 7 $.

а) Для того чтобы сравнить числа $\log_2 6$ и $\log_4 5$, приведем их к общему основанию. Удобно привести их к основанию 4, так как $4=2^2$.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию степени: $\log_a b = \log_{a^k} b^k$.
$\log_2 6 = \log_{2^2} 6^2 = \log_4 36$.
Теперь нам нужно сравнить два логарифма с одинаковым основанием: $\log_4 36$ и $\log_4 5$.
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
Сравним аргументы: $36 > 5$.
Следовательно, $\log_4 36 > \log_4 5$.
А значит, $\log_2 6 > \log_4 5$.
Ответ: $\log_2 6 > \log_4 5$.

б) Для сравнения чисел $\log_{1/2} 3$ и $\log_{1/4} 1.5$ приведем их к общему основанию $1/4$, так как $1/4 = (1/2)^2$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{1/2} 3 = \log_{(1/4)^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2} \log_{1/4} 3 = 2\log_{1/4} 3 = \log_{1/4} 3^2 = \log_{1/4} 9$.
Теперь сравним логарифмы $\log_{1/4} 9$ и $\log_{1/4} 1.5$.
Так как основание логарифма $0 < 1/4 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1/4} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.
Сравним аргументы: $9 > 1.5$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{1/4} 9 < \log_{1/4} 1.5$.
Следовательно, $\log_{1/2} 3 < \log_{1/4} 1.5$.
Ответ: $\log_{1/2} 3 < \log_{1/4} 1.5$.

в) Сравним числа $\log_9 6$ и $\log_3 7$. Приведем их к общему основанию 9, так как $9 = 3^2$.
Используем формулу $\log_a b = \log_{a^k} b^k$.
$\log_3 7 = \log_{3^2} 7^2 = \log_9 49$.
Теперь сравним два логарифма с одинаковым основанием: $\log_9 6$ и $\log_9 49$.
Основание логарифма $9 > 1$, поэтому функция $y = \log_9 x$ является возрастающей. Большему аргументу соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $6 < 49$.
Следовательно, $\log_9 6 < \log_9 49$.
А значит, $\log_9 6 < \log_3 7$.
Ответ: $\log_9 6 < \log_3 7$.

г) Сравним числа $\log_{1/3} 4$ и $\log_{1/9} 7$. Приведем их к общему основанию $1/9$, так как $1/9 = (1/3)^2$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{1/3} 4 = \log_{(1/9)^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_{1/9} 4 = 2\log_{1/9} 4 = \log_{1/9} 4^2 = \log_{1/9} 16$.
Теперь сравним логарифмы $\log_{1/9} 16$ и $\log_{1/9} 7$.
Так как основание логарифма $0 < 1/9 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1/9} x$ является убывающей. Это значит, что большему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $16 > 7$.
Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{1/9} 16 < \log_{1/9} 7$.
Следовательно, $\log_{1/3} 4 < \log_{1/9} 7$.
Ответ: $\log_{1/3} 4 < \log_{1/9} 7$.