Страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Что такое показательная функция?

Определение

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где $a$ — заданное число, называемое основанием, а $x$ — переменная, называемая показателем степени. На основание $a$ накладываются следующие ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Эти ограничения необходимы, так как:
- при $a = 1$ функция превращается в константу $y = 1^x = 1$, которая не обладает свойствами, характерными для показательных функций;
- при $a \le 0$ функция не определена для многих действительных значений $x$ (например, при $a=-2$ и $x=1/2$ выражение $(-2)^{1/2}$ не является действительным числом, а при $a=0$ и $x=-1$ выражение $0^{-1}$ не определено).

Основные свойства показательной функции $y = a^x$

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что $x$ может быть любым числом.

2. Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что $a^x > 0$ для любого действительного $x$. График функции полностью лежит выше оси абсцисс.

3. Монотонность (поведение функции):
- если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
- если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

4. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

5. Характерная точка: график любой показательной функции всегда проходит через точку с координатами $(0; 1)$, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.

6. Асимптота: ось абсцисс (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика функции. Это означает, что график неограниченно приближается к оси $Ox$, но никогда её не пересекает.

График показательной функции

Внешний вид графика напрямую зависит от значения основания $a$.

Случай 1: $a > 1$ (возрастающая функция)
График расположен в I и II координатных четвертях. Он проходит через точку $(0; 1)$ и плавно поднимается слева направо, причем рост ускоряется. При $x \to -\infty$, значение $y \to 0$ (график приближается к оси $Ox$). При $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$. Пример: $y = 2^x, y=e^x$.

Случай 2: $0 < a < 1$ (убывающая функция)
График также расположен в I и II координатных четвертях и проходит через точку $(0; 1)$. Он плавно опускается слева направо. При $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, значение $y \to 0$ (график приближается к оси $Ox$). Пример: $y = (1/2)^x, y=(0.3)^x$.

Важно отметить, что графики функций $y = a^x$ и $y = (1/a)^x$ симметричны друг другу относительно оси ординат (оси $Oy$).

Примеры

- $y = 2^x$ — классический пример возрастающей показательной функции.
- $y = (0.5)^x$ (или $y = (1/2)^x$) — пример убывающей показательной функции.
- $y = e^x$, где $e \approx 2.71828...$ (число Эйлера) — натуральная показательная функция, или экспонента. Так как $e > 1$, эта функция является возрастающей и имеет фундаментальное значение в математическом анализе.

Ответ: Показательная функция — это функция вида $y=a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$), а $x$ — переменная (показатель степени), которая может принимать любые действительные значения.

3. Чему равен $\lim_{x \to -\infty} a^x$, если $a > 1$?

Для вычисления предела $\lim_{x \to -\infty} a^x$ при условии $a > 1$, выполним замену переменной. Пусть $y = -x$. В этом случае, если $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), то $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).
Тогда исходный предел можно переписать следующим образом:$\lim_{x \to -\infty} a^x = \lim_{y \to +\infty} a^{-y}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, $a^{-y} = \frac{1}{a^y}$, получаем:$\lim_{y \to +\infty} \frac{1}{a^y}$.
Теперь рассмотрим знаменатель дроби. Так как по условию $a > 1$, показательная функция $f(y) = a^y$ является возрастающей. Это означает, что при стремлении $y$ к плюс бесконечности, значение $a^y$ также стремится к плюс бесконечности: $\lim_{y \to +\infty} a^y = +\infty$.
В итоге мы вычисляем предел, где числитель является константой (1), а знаменатель стремится к бесконечности. Такой предел равен нулю.

Ответ: 0

4. Чему равен $\lim_{x \to +\infty} a^x$, если $0 < a < 1$?

4.

Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} a^x$ при условии $0 < a < 1$, рассмотрим поведение показательной функции $y = a^x$ с основанием, меньшим единицы.

Когда основание степени $a$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция $y = a^x$ является монотонно убывающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение $a^x$ будет уменьшаться.

Проиллюстрируем это на примере. Возьмем $a = \frac{1}{2}$:
Если $x = 1$, то $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.
Если $x = 2$, то $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Если $x = 3$, то $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Мы видим, что с ростом $x$ значение выражения $(\frac{1}{2})^x$ становится все меньше и приближается к нулю.

Чтобы доказать это формально, мы можем сделать замену. Поскольку $0 < a < 1$, мы можем представить $a$ как $a = \frac{1}{b}$, где $b$ будет больше 1 ($b > 1$).
Тогда исходный предел можно переписать:
$\lim_{x \to +\infty} a^x = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{b})^x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1^x}{b^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x}$

Так как $b > 1$, при стремлении $x$ к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $b^x$ также стремится к плюс бесконечности ($b^x \to +\infty$).
Предел дроби, у которой числитель — константа (1), а знаменатель неограниченно возрастает, равен нулю.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} = \frac{1}{+\infty} = 0$

Ответ: $0$

5. В каком случае показательная функция $y = a^x$ возрастает, а в каком — убывает?

Поведение показательной функции $y = a^x$ (ее возрастание или убывание) напрямую зависит от значения её основания $a$. Согласно определению показательной функции, её основание должно быть положительным числом, не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. Таким образом, все возможные значения основания $a$ делятся на два промежутка: $a > 1$ и $0 < a < 1$.

В каком случае показательная функция возрастает

Функция является возрастающей, если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что и значения функции $f(x_1) < f(x_2)$.

Для показательной функции $y = a^x$ это свойство выполняется, когда её основание $a$ больше единицы ($a > 1$).

Это можно объяснить так: при умножении числа, большего единицы ($a$), само на себя, результат увеличивается. Чем больше раз мы его умножаем (чем больше показатель $x$), тем больше будет итоговое значение. Например, для функции $y=2^x$, имеем $2^2=4$ и $2^3=8$. Поскольку $2 < 3$, то и $2^2 < 2^3$.

Формально: пусть $x_1 < x_2$. Тогда разность $d = x_2 - x_1$ положительна. Сравним $a^{x_1}$ и $a^{x_2} = a^{x_1+d} = a^{x_1} \cdot a^d$. Так как $a > 1$ и $d > 0$, то $a^d > 1$. Умножив обе части неравенства $a^d > 1$ на положительное число $a^{x_1}$, получим $a^{x_1} \cdot a^d > a^{x_1} \cdot 1$, то есть $a^{x_2} > a^{x_1}$. Это доказывает, что функция возрастает.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ возрастает при $a > 1$.

В каком случае показательная функция убывает

Функция является убывающей, если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что значения функции $f(x_1) > f(x_2)$.

Для показательной функции $y = a^x$ это свойство выполняется, когда её основание $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).

Это можно объяснить так: при умножении положительного числа, меньшего единицы ($a$), само на себя, результат уменьшается. Чем больше раз мы его умножаем (чем больше показатель $x$), тем меньше будет итоговое значение. Например, для функции $y=(\frac{1}{2})^x$, имеем $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ и $(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$. Поскольку $2 < 3$, то $(\frac{1}{2})^2 > (\frac{1}{2})^3$.

Формально: пусть $x_1 < x_2$. Тогда разность $d = x_2 - x_1$ положительна. Сравним $a^{x_1}$ и $a^{x_2} = a^{x_1} \cdot a^d$. Так как $0 < a < 1$ и $d > 0$, то $0 < a^d < 1$. Умножив обе части неравенства $a^d < 1$ на положительное число $a^{x_1}$, получим $a^{x_1} \cdot a^d < a^{x_1} \cdot 1$, то есть $a^{x_2} < a^{x_1}$. Это доказывает, что функция убывает.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ убывает при $0 < a < 1$.

6. В каком случае график показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, а в каком — при $x \to -\infty$?

Поведение показательной функции $y = a^x$ (где по определению $a > 0$ и $a \neq 1$) и наличие у её графика горизонтальной асимптоты зависит от значения основания $a$. Горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ является прямая $y=c$, если предел функции при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, равен константе $c$. Для функции $y = a^x$ такой асимптотой является прямая $y=0$ (ось абсцисс). Рассмотрим, при каких условиях это происходит.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$
График функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$, если предел $\lim_{x \to +\infty} a^x$ существует и является конечным числом. Это условие выполняется, когда основание степени $a$ находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция является убывающей. При неограниченном увеличении аргумента $x$, значение функции $a^x$ стремится к нулю. Например, для $y = (0.5)^x$, при $x=2$ $y=0.25$, а при $x=10$ $y \approx 0.001$. Математически это выражается как: $$ \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \quad \text{при} \quad 0 < a < 1 $$ Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \rightarrow +\infty$.
Ответ: График показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$ в случае, когда основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$
График функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$, если предел $\lim_{x \to -\infty} a^x$ существует и является конечным числом. Это условие выполняется, когда основание степени $a$ больше единицы, то есть $a > 1$. В этом случае показательная функция является возрастающей. Когда $x$ стремится к минус бесконечности (т.е. принимает большие по модулю отрицательные значения), значение функции $a^x$ стремится к нулю. Это можно увидеть, представив $a^x$ как $\frac{1}{a^{-x}}$. Так как $x \rightarrow -\infty$, то $-x \rightarrow +\infty$, знаменатель $a^{-x}$ неограниченно растет, и вся дробь стремится к нулю. Математически это выражается как: $$ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \quad \text{при} \quad a > 1 $$ Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \rightarrow -\infty$.
Ответ: График показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$ в случае, когда основание $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.

Вычислите:

16.44. a) $5 \log_2 9 \cdot \log_3 64 + 3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8};$

б) $2^{4 \log_2 3 - 1} + \log_9 3 + \log_3 64 \cdot \log_4 3.$

а) $5\log_2 9 \cdot \log_3 64 + 3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8}$

Решим задачу по частям. Сначала упростим первое слагаемое: $5\log_2 9 \cdot \log_3 64$.
Используем свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$. Представим $9$ как $3^2$ и $64$ как $2^6$:
$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3$
$\log_3 64 = \log_3 2^6 = 6\log_3 2$
Подставим преобразованные логарифмы в первое слагаемое:
$5 \cdot (2\log_2 3) \cdot (6\log_3 2) = 60 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$
Теперь воспользуемся свойством перехода к другому основанию, из которого следует, что $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.
Таким образом, $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$.
Значит, первое слагаемое равно $60 \cdot 1 = 60$.

Теперь упростим второе слагаемое: $3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8}$.
Используем свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:
$3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8} = (3 \cdot 2)^{\log_6 8} = 6^{\log_6 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$6^{\log_6 8} = 8$.

Сложим полученные значения:
$60 + 8 = 68$.

Ответ: 68.

б) $2^{4\log_2 3 - 1} + \log_9 3 + \log_3 64 \cdot \log_4 3$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2^{4\log_2 3 - 1}$.
Используем свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $k\log_b a = \log_b a^k$:
$2^{4\log_2 3 - 1} = \frac{2^{4\log_2 3}}{2^1} = \frac{2^{\log_2 3^4}}{2} = \frac{2^{\log_2 81}}{2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 81} = 81$.
Следовательно, первое слагаемое равно $\frac{81}{2}$.

Второе слагаемое: $\log_9 3$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так как $9 = 3^2$:
$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}\log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Третье слагаемое: $\log_3 64 \cdot \log_4 3$.
Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. Сначала преобразуем $\log_3 64$:
$64 = 4^3$, поэтому $\log_3 64 = \log_3 (4^3) = 3\log_3 4$.
Тогда выражение примет вид:
$(3\log_3 4) \cdot \log_4 3 = 3 \cdot (\log_3 4 \cdot \log_4 3) = 3 \cdot 1 = 3$.
Альтернативный способ: используя формулу замены основания $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, можно показать, что $\frac{\log_3 64}{\log_3 4} = \log_4 64 = 3$.

Теперь сложим все полученные значения:
$\frac{81}{2} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{82}{2} + 3 = 41 + 3 = 44$.

Ответ: 44.

16.45. a) $16(\log_9 45 - 1) \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121;$

б) $\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 5 \cdot (1 + \log_3 5).$

Решим выражение $16(\log_9 45 - 1) \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство разности логарифмов $\log_b x - \log_b y = \log_b(x/y)$. Для этого представим 1 как логарифм с основанием 9: $1 = \log_9 9$.
$\log_9 45 - 1 = \log_9 45 - \log_9 9 = \log_9(45/9) = \log_9 5$.
Теперь упростим остальные логарифмы в выражении. Используем свойство логарифма степени $\log_b(a^k) = k \log_b a$.
$\log_5 121 = \log_5(11^2) = 2 \log_5 11$.
Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$16 \cdot (\log_9 5) \cdot (\log_{11} 9) \cdot (2 \log_5 11)$.
Сгруппируем множители:
$16 \cdot 2 \cdot \log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11 = 32 \cdot \log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11$.
Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, чтобы упростить произведение логарифмов. Это свойство также известно как "цепочка логарифмов".
$\log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11 = \frac{\ln 5}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 11} \cdot \frac{\ln 11}{\ln 5}$.
Как видно, все числители и знаменатели сокращаются:
$\frac{\ln 5}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 11} \cdot \frac{\ln 11}{\ln 5} = 1$.
Таким образом, произведение логарифмов равно 1.
Окончательное вычисление:
$32 \cdot 1 = 32$.
Ответ: 32

Решим выражение $\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 5 \cdot (1 + \log_3 5)$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство суммы логарифмов $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$. Для этого представим 1 как логарифм с основанием 3: $1 = \log_3 3$.
$1 + \log_3 5 = \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 15$.
Теперь упростим логарифм $\log_{\sqrt{3}} 5$, используя свойство $\log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} 5 = \log_{3^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_3 5 = 2 \log_3 5$.
Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot (2 \log_3 5) \cdot (\log_3 15)$.
Теперь используем формулу замены основания для оставшихся логарифмов, чтобы привести их к основанию 3. Формула: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$\log_{15} 3 = \frac{1}{\log_3 15}$.
$\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$.
Подставим эти выражения:
$\frac{1}{\log_3 15} \cdot \frac{1}{\log_3 5} \cdot 2 \log_3 5 \cdot \log_3 15$.
Сгруппируем множители для сокращения:
$(\frac{1}{\log_3 15} \cdot \log_3 15) \cdot (\frac{1}{\log_3 5} \cdot 2 \log_3 5) = 1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2

16.46. a) $3 \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7;$

б) $\log_2 10 \cdot \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \ldots \cdot \log_{1000} 999.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. В качестве нового основания $c$ можно выбрать любое удобное число, например, $e$ (натуральный логарифм).

Запишем исходное выражение $3 \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7$, применив эту формулу к каждому логарифму:

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 8}$

Видим, что многие члены в числителях и знаменателях сокращаются (так называемое «телескопическое сокращение»):

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \frac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 7}} \cdot \frac{\cancel{\ln 7}}{\ln 8} = 3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 8}$

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию в обратном порядке $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$3 \cdot \frac{\ln 4}{\ln 8} = 3 \cdot \log_8 4$

Осталось вычислить значение $\log_8 4$. Для этого представим основания 8 и 4 как степени числа 2: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$\log_8 4 = \log_{2^3} 2^2$

Используя свойство логарифма степени $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$, получаем:

$\frac{2}{3} \log_2 2 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Ответ: 2

б) Рассмотрим произведение $\log_2 10 \cdot \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999$.

Для удобства перегруппируем множители, чтобы увидеть закономерность $\log_{n+1} n$:

$\log_2 10 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999)$

Применим к произведению в скобках формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \dots \cdot \log_{1000} 999 = \frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \dots \cdot \frac{\ln 999}{\ln 1000}$

В этом произведении все промежуточные члены сокращаются:

$\frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{\ln 999}}{\ln 1000} = \frac{\ln 2}{\ln 1000}$

По формуле перехода к новому основанию в обратном порядке это равно $\log_{1000} 2$.

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив полученный результат:

$\log_2 10 \cdot \log_{1000} 2$

Используем свойство $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ для второго множителя:

$\log_2 10 \cdot \frac{1}{\log_2 1000} = \frac{\log_2 10}{\log_2 1000}$

Снова применяем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$\frac{\log_2 10}{\log_2 1000} = \log_{1000} 10$

Чтобы вычислить $\log_{1000} 10$, заметим, что $1000 = 10^3$.

$\log_{1000} 10 = \log_{10^3} 10^1 = \frac{1}{3} \log_{10} 10 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

16.47. a) $\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$;

б) $\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$.

Преобразуем выражение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $. Применив ее к знаменателям дробей, мы "переворачиваем" их, меняя основание и аргумент логарифма местами:

$ \frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2} = \log_2 56 \cdot \log_2 28 - \log_2 7 \cdot \log_2 224 $

Теперь разложим числа в аргументах логарифмов на множители, чтобы упростить выражение. Заметим, что все они связаны с числами 7 и степенями 2:

$ 56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $

$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $

$ 224 = 32 \cdot 7 = 2^5 \cdot 7 $

Подставим эти разложения в наше выражение и применим свойство логарифма произведения $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $ и свойство логарифма степени $ \log_a a^n = n $:

$ \log_2(2^3 \cdot 7) \cdot \log_2(2^2 \cdot 7) - \log_2 7 \cdot \log_2(2^5 \cdot 7) = $
$ = (\log_2 2^3 + \log_2 7) \cdot (\log_2 2^2 + \log_2 7) - \log_2 7 \cdot (\log_2 2^5 + \log_2 7) = $
$ = (3 + \log_2 7) \cdot (2 + \log_2 7) - \log_2 7 \cdot (5 + \log_2 7) $

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $ x = \log_2 7 $. Тогда выражение принимает вид:

$ (3 + x)(2 + x) - x(5 + x) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ (6 + 3x + 2x + x^2) - (5x + x^2) = 6 + 5x + x^2 - 5x - x^2 = 6 $

Ответ: 6

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сначала используем формулу $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $ для преобразования знаменателей:

$ \frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3} = \log_3 135 \cdot \log_3 45 - \log_3 5 \cdot \log_3 1215 $

Разложим аргументы логарифмов на множители, выделяя степени основания 3 и число 5:

$ 135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5 $

$ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $

$ 1215 = 243 \cdot 5 = 3^5 \cdot 5 $

Подставим разложения в выражение и используем свойства логарифмов $ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c $ и $ \log_a a^n = n $:

$ \log_3(3^3 \cdot 5) \cdot \log_3(3^2 \cdot 5) - \log_3 5 \cdot \log_3(3^5 \cdot 5) = $
$ = (\log_3 3^3 + \log_3 5) \cdot (\log_3 3^2 + \log_3 5) - \log_3 5 \cdot (\log_3 3^5 + \log_3 5) = $
$ = (3 + \log_3 5) \cdot (2 + \log_3 5) - \log_3 5 \cdot (5 + \log_3 5) $

Введем замену: пусть $ y = \log_3 5 $. Выражение примет вид:

$ (3 + y)(2 + y) - y(5 + y) $

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$ (6 + 3y + 2y + y^2) - (5y + y^2) = 6 + 5y + y^2 - 5y - y^2 = 6 $

Ответ: 6

16.48. a) $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 96;$

б) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 - \log_5 2 \cdot \log_2 5.$

Вычислим значение выражения $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 96$.

Для удобства разобьем решение на несколько шагов.

1. Преобразуем выражение в первой скобке. Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ и тем, что $1 = \log_4 4$.
$\log_4 6 + \log_6 4 + 2 = \log_4 6 + \frac{1}{\log_4 6} + 2 = \frac{(\log_4 6)^2 + 2\log_4 6 + 1}{\log_4 6} = \frac{(\log_4 6 + 1)^2}{\log_4 6}$.
Теперь упростим числитель: $\log_4 6 + 1 = \log_4 6 + \log_4 4 = \log_4(6 \cdot 4) = \log_4 24$.
Таким образом, первая скобка равна $\frac{(\log_4 24)^2}{\log_4 6}$.

2. Преобразуем выражение во второй скобке, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ (перейдем к основанию 4):
$\log_4 6 - \log_{24} 6 = \log_4 6 - \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \log_4 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{\log_4 24}\right)$.
Упростим выражение в скобках: $1 - \frac{1}{\log_4 24} = \frac{\log_4 24 - 1}{\log_4 24} = \frac{\log_4 24 - \log_4 4}{\log_4 24} = \frac{\log_4(24/4)}{\log_4 24} = \frac{\log_4 6}{\log_4 24}$.
Следовательно, вторая скобка равна $\log_4 6 \cdot \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \frac{(\log_4 6)^2}{\log_4 24}$.

3. Теперь перемножим полученные выражения и $\log_6 4$:
$\frac{(\log_4 24)^2}{\log_4 6} \cdot \frac{(\log_4 6)^2}{\log_4 24} \cdot \log_6 4$.
После сокращения дробей получаем: $(\log_4 24) \cdot (\log_4 6) \cdot \log_6 4$.
Так как $\log_4 6 \cdot \log_6 4 = 1$ (по свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$), то результат произведения равен $\log_4 24 \cdot 1 = \log_4 24$.

4. Наконец, выполним вычитание:
$\log_4 24 - \log_4 96$.
По свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_4\left(\frac{24}{96}\right) = \log_4\left(\frac{1}{4}\right) = \log_4(4^{-1}) = -1$.

Ответ: $-1$

Вычислим значение выражения $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 - \log_5 2 \cdot \log_2 5$.

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Найдем сумму первых двух слагаемых, используя свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6(4 \cdot 9) = \log_6 36$.
Поскольку $36 = 6^2$, то $\log_6 36 = 2$.

2. Найдем значение третьего слагаемого $\log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2$.
Преобразуем $\log_{\sqrt{6}} 2$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{\sqrt{6}} 2 = \log_{6^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2}\log_6 2 = 2\log_6 2$.
Тогда произведение равно $\log_4 6 \cdot (2\log_6 2) = 2 \cdot (\log_4 6 \cdot \log_6 2)$.
Используя свойство $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, получаем: $2 \cdot \log_4 2$.
Так как $4^{1/2} = 2$, то $\log_4 2 = 1/2$. Значит, значение третьего слагаемого равно $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

3. Найдем значение последнего члена $- \log_5 2 \cdot \log_2 5$.
По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$: $\log_5 2 \cdot \log_2 5 = 1$.
Следовательно, значение этого члена равно $-1$.

4. Сложим все полученные значения:
$2 + 1 - 1 = 2$.

Ответ: $2$

16.49. а) $81^{\frac{1}{\log_5 3}} + 27^{\log_9 36} + 3^{\frac{4}{\log_7 9}}$;

б) $4\sqrt{3} + 0,2^{1 - \log_5 3} - 15^{0,5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.

а) $81^{\frac{1}{\log_5 3}} + 27^{\log_9 36} + 3^{\frac{4}{\log_7 9}}$

Для решения данного примера упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Упростим первое слагаемое $81^{\frac{1}{\log_5 3}}$.
Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Показатель степени примет вид: $\frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5$.
Выражение преобразуется к $81^{\log_3 5}$.
Представим основание степени 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.
Получаем: $(3^4)^{\log_3 5}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $3^{4\log_3 5}$.
Используя свойство логарифма $k\log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель 4 в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (5^4)} = 3^{\log_3 625}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $3^{\log_3 625} = 625$.

2. Упростим второе слагаемое $27^{\log_9 36}$.
Представим основания 27 и 9 в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$.
Выражение примет вид: $(3^3)^{\log_{3^2} 36}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{3^2} 36 = \frac{1}{2}\log_3 36$.
Подставляем обратно: $(3^3)^{\frac{1}{2}\log_3 36} = 3^{3 \cdot \frac{1}{2}\log_3 36} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 36}$.
Вносим множитель $\frac{3}{2}$ в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (36^{\frac{3}{2}})}$.
По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 (36^{\frac{3}{2}})} = 36^{\frac{3}{2}}$.
Вычисляем значение: $36^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{36})^3 = 6^3 = 216$.

3. Упростим третье слагаемое $3^{\frac{4}{\log_7 9}}$.
Используем свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$: $\frac{4}{\log_7 9} = 4 \log_9 7$.
Выражение примет вид: $3^{4\log_9 7}$.
Представим основание логарифма 9 как степень 3: $9=3^2$. Получим $3^{4\log_{3^2} 7}$.
Применяем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $3^{4 \cdot \frac{1}{2}\log_3 7} = 3^{2\log_3 7}$.
Вносим множитель 2 в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (7^2)} = 3^{\log_3 49}$.
По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 49} = 49$.

Теперь сложим полученные значения: $625 + 216 + 49 = 841 + 49 = 890$.

Ответ: 890.

б) $4\sqrt{3} + 0.2^{1-\log_5 3} - 15^{0.5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$

Упростим второе и третье слагаемые выражения.

1. Упростим второе слагаемое $0.2^{1-\log_5 3}$.
Представим десятичную дробь 0.2 в виде степени с основанием 5: $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Выражение примет вид: $(5^{-1})^{1-\log_5 3}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{-1 \cdot (1-\log_5 3)} = 5^{-1+\log_5 3}$.
Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, разделим на два множителя: $5^{-1} \cdot 5^{\log_5 3}$.
Известно, что $5^{-1} = \frac{1}{5}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $5^{\log_5 3} = 3$.
Таким образом, второе слагаемое равно: $\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$.

2. Упростим третье слагаемое (вычитаемое) $15^{0.5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.
По свойству степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $15^{0.5} \cdot 15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.
Упростим каждый множитель:
$15^{0.5} = 15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$.
По основному логарифмическому тождеству: $15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Перемножим полученные значения: $\sqrt{15} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Так как $\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$, получаем: $\sqrt{3}\sqrt{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $4\sqrt{3} + \frac{3}{5} - 4\sqrt{3}$.
Слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются: $4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

16.50. a) $2^{\log_{\sqrt{3}} 9 + \log_{\sqrt{2}} \sqrt{5}}$;

б) $3^{\log_{\sqrt{5}} 5 - \log_{\sqrt{3}} \sqrt{7}}$.

a)

Для решения примера $2^{\log_{\sqrt{3}}9 + \log_{\sqrt{2}}\sqrt{5}}$ необходимо упростить показатель степени. Показатель представляет собой сумму двух логарифмов. Упростим каждый из них по отдельности.

1. Упростим первый логарифм: $\log_{\sqrt{3}}9$.

Представим основание $\sqrt{3}$ и число под знаком логарифма $9$ в виде степеней с одинаковым основанием $3$.

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$9 = 3^2$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{3}}9 = \log_{3^{1/2}}(3^2) = \frac{2}{1/2}\log_3 3 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Упростим второй логарифм: $\log_{\sqrt{2}}\sqrt{5}$.

Здесь можно воспользоваться свойством $\log_{a^k}(b^k) = \log_a b$. Представим основание и число под логарифмом в виде степеней с показателем $1/2$:

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

$\log_{\sqrt{2}}\sqrt{5} = \log_{2^{1/2}}(5^{1/2}) = \frac{1/2}{1/2}\log_2 5 = \log_2 5$.

3. Подставим найденные значения в показатель степени исходного выражения:

$\log_{\sqrt{3}}9 + \log_{\sqrt{2}}\sqrt{5} = 4 + \log_2 5$.

4. Теперь исходное выражение имеет вид: $2^{4 + \log_2 5}$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:

$2^{4 + \log_2 5} = 2^4 \cdot 2^{\log_2 5}$.

5. Вычислим результат.

$2^4 = 16$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 5} = 5$.

Таким образом, $16 \cdot 5 = 80$.

Ответ: 80

б)

Для решения примера $3^{\log_{\sqrt{5}}5 - \log_{\sqrt{3}}\sqrt{7}}$ необходимо упростить показатель степени, который является разностью двух логарифмов.

1. Упростим первый логарифм: $\log_{\sqrt{5}}5$.

Представим основание $\sqrt{5}$ и число $5$ в виде степеней с основанием $5$:

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

$5 = 5^1$

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{5}}5 = \log_{5^{1/2}}(5^1) = \frac{1}{1/2}\log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Упростим второй логарифм: $\log_{\sqrt{3}}\sqrt{7}$.

Представим основание и число под логарифмом в виде степеней с показателем $1/2$:

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$\sqrt{7} = 7^{1/2}$

$\log_{\sqrt{3}}\sqrt{7} = \log_{3^{1/2}}(7^{1/2}) = \frac{1/2}{1/2}\log_3 7 = \log_3 7$.

3. Подставим упрощенные логарифмы в показатель степени:

$\log_{\sqrt{5}}5 - \log_{\sqrt{3}}\sqrt{7} = 2 - \log_3 7$.

4. Исходное выражение теперь выглядит так: $3^{2 - \log_3 7}$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:

$3^{2 - \log_3 7} = \frac{3^2}{3^{\log_3 7}}$.

5. Вычислим результат.

$3^2 = 9$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $3^{\log_3 7} = 7$.

Таким образом, $\frac{9}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$

Сравните числа:

16.51. a) $\log_2 7$ и $\log_7 4$;

б) $\log_6 9$ и $\log_9 8$;

в) $\log_3 5$ и $\log_5 4$;

г) $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$.

а) Сравнить $\log_2 7$ и $\log_7 4$.

Для сравнения этих двух чисел, сравним каждое из них с единицей.

1. Рассмотрим число $\log_2 7$. Основание логарифма $2 > 1$. Поскольку аргумент $7$ больше основания $2$, значение логарифма будет больше 1.
Действительно, $2^1 = 2$, а $7 > 2$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то из $7 > 2$ следует, что $\log_2 7 > \log_2 2 = 1$.

2. Рассмотрим число $\log_7 4$. Основание логарифма $7 > 1$. Поскольку аргумент $4$ меньше основания $7$, значение логарифма будет меньше 1.
Действительно, $7^1 = 7$, а $4 < 7$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то из $4 < 7$ следует, что $\log_7 4 < \log_7 7 = 1$.

3. Так как $\log_2 7 > 1$ и $\log_7 4 < 1$, мы можем сделать вывод, что $\log_2 7 > \log_7 4$.

Ответ: $\log_2 7 > \log_7 4$.

б) Сравнить $\log_6 9$ и $\log_9 8$.

Сравним каждое из чисел с 1, используя свойство логарифма $\log_a a = 1$.

1. Для $\log_6 9$: основание $6 > 1$ и аргумент $9 > 6$. Следовательно, $\log_6 9 > \log_6 6 = 1$.

2. Для $\log_9 8$: основание $9 > 1$, но аргумент $8 < 9$. Следовательно, $\log_9 8 < \log_9 9 = 1$.

3. Поскольку $\log_6 9$ больше единицы, а $\log_9 8$ меньше единицы, то $\log_6 9 > \log_9 8$.

Ответ: $\log_6 9 > \log_9 8$.

в) Сравнить $\log_3 5$ и $\log_5 4$.

Воспользуемся методом сравнения с единицей.

1. Рассмотрим $\log_3 5$. Основание $3 > 1$ и аргумент $5 > 3$. Это означает, что $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$.

2. Рассмотрим $\log_5 4$. Основание $5 > 1$ и аргумент $4 < 5$. Это означает, что $\log_5 4 < \log_5 5 = 1$.

3. Из полученных неравенств $\log_3 5 > 1$ и $\log_5 4 < 1$ следует, что $\log_3 5 > \log_5 4$.

Ответ: $\log_3 5 > \log_5 4$.

г) Сравнить $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$.

Сравним каждое из чисел с числом 1.

1. Для логарифма $\log_{11} 14$: основание $11 > 1$, и аргумент $14 > 11$. Таким образом, $\log_{11} 14 > \log_{11} 11 = 1$.

2. Для логарифма $\log_{14} 13$: основание $14 > 1$, но аргумент $13 < 14$. Таким образом, $\log_{14} 13 < \log_{14} 14 = 1$.

3. Так как $\log_{11} 14$ больше 1, а $\log_{14} 13$ меньше 1, заключаем, что $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

Ответ: $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

16.52. a) $ \log_2 6 $ и $ \log_4 5 $;

б) $ \log_{\frac{1}{2}} 3 $ и $ \log_{\frac{1}{4}} 1,5 $;

в) $ \log_9 6 $ и $ \log_3 7 $;

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 4 $ и $ \log_{\frac{1}{9}} 7 $.

а) Для того чтобы сравнить числа $\log_2 6$ и $\log_4 5$, приведем их к общему основанию. Удобно привести их к основанию 4, так как $4=2^2$.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию степени: $\log_a b = \log_{a^k} b^k$.
$\log_2 6 = \log_{2^2} 6^2 = \log_4 36$.
Теперь нам нужно сравнить два логарифма с одинаковым основанием: $\log_4 36$ и $\log_4 5$.
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
Сравним аргументы: $36 > 5$.
Следовательно, $\log_4 36 > \log_4 5$.
А значит, $\log_2 6 > \log_4 5$.
Ответ: $\log_2 6 > \log_4 5$.

б) Для сравнения чисел $\log_{1/2} 3$ и $\log_{1/4} 1.5$ приведем их к общему основанию $1/4$, так как $1/4 = (1/2)^2$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{1/2} 3 = \log_{(1/4)^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2} \log_{1/4} 3 = 2\log_{1/4} 3 = \log_{1/4} 3^2 = \log_{1/4} 9$.
Теперь сравним логарифмы $\log_{1/4} 9$ и $\log_{1/4} 1.5$.
Так как основание логарифма $0 < 1/4 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1/4} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.
Сравним аргументы: $9 > 1.5$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{1/4} 9 < \log_{1/4} 1.5$.
Следовательно, $\log_{1/2} 3 < \log_{1/4} 1.5$.
Ответ: $\log_{1/2} 3 < \log_{1/4} 1.5$.

в) Сравним числа $\log_9 6$ и $\log_3 7$. Приведем их к общему основанию 9, так как $9 = 3^2$.
Используем формулу $\log_a b = \log_{a^k} b^k$.
$\log_3 7 = \log_{3^2} 7^2 = \log_9 49$.
Теперь сравним два логарифма с одинаковым основанием: $\log_9 6$ и $\log_9 49$.
Основание логарифма $9 > 1$, поэтому функция $y = \log_9 x$ является возрастающей. Большему аргументу соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $6 < 49$.
Следовательно, $\log_9 6 < \log_9 49$.
А значит, $\log_9 6 < \log_3 7$.
Ответ: $\log_9 6 < \log_3 7$.

г) Сравним числа $\log_{1/3} 4$ и $\log_{1/9} 7$. Приведем их к общему основанию $1/9$, так как $1/9 = (1/3)^2$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{1/3} 4 = \log_{(1/9)^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_{1/9} 4 = 2\log_{1/9} 4 = \log_{1/9} 4^2 = \log_{1/9} 16$.
Теперь сравним логарифмы $\log_{1/9} 16$ и $\log_{1/9} 7$.
Так как основание логарифма $0 < 1/9 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1/9} x$ является убывающей. Это значит, что большему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $16 > 7$.
Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{1/9} 16 < \log_{1/9} 7$.
Следовательно, $\log_{1/3} 4 < \log_{1/9} 7$.
Ответ: $\log_{1/3} 4 < \log_{1/9} 7$.

Расположите числа в порядке возрастания:

16.53. a) $ \log_2 7 $, $ \log_4 3 $ и $ \lg 1 $;

б) $ \log_{0.5} 0.1 $, $ \log_3 0.5 $ и $ \lg 1 $;

в) $ \log_7 9 $, $ \log_3 1 $ и $ \log_5 4 $;

г) $ \log_{0.2} 0.3 $, $ \log_7 0.6 $ и $ \log_2 1 $.

а) Для того чтобы расположить числа $\log_2 7$, $\log_4 3$ и $\lg 1$ в порядке возрастания, сравним их значения, оценив каждое из них.
1. Найдём значение $\lg 1$. Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10) от единицы, как и любой другой логарифм от единицы, равен нулю: $\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$.
2. Оценим $\log_2 7$. Основание логарифма $2 > 1$, значит, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ возрастает. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$. Так как $4 < 7 < 8$, то, логарифмируя, получаем $\log_2 4 < \log_2 7 < \log_2 8$, что означает $2 < \log_2 7 < 3$.
3. Оценим $\log_4 3$. Основание логарифма $4 > 1$, значит, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ возрастает. Мы знаем, что $4^0 = 1$ и $4^1 = 4$. Так как $1 < 3 < 4$, то $\log_4 1 < \log_4 3 < \log_4 4$, что означает $0 < \log_4 3 < 1$.
4. Теперь сравним полученные значения: $\lg 1 = 0$, $\log_4 3$ находится в интервале $(0, 1)$, а $\log_2 7$ находится в интервале $(2, 3)$.
Следовательно, $\lg 1 < \log_4 3 < \log_2 7$.
Ответ: $\lg 1$, $\log_4 3$, $\log_2 7$.

б) Для того чтобы расположить числа $\log_{0.5} 0.1$, $\log_3 0.5$ и $\lg 1$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\lg 1 = 0$.
2. Оценим $\log_3 0.5$. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Так как аргумент $0.5 < 1$, значение логарифма будет меньше $\log_3 1 = 0$. Следовательно, $\log_3 0.5 < 0$.
3. Оценим $\log_{0.5} 0.1$. Основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, значит, логарифмическая функция $y = \log_{0.5} x$ является убывающей. Сравним аргумент $0.1$ с основанием $0.5$. Так как $0.1 < 0.5$, то из-за убывания функции $\log_{0.5} 0.1 > \log_{0.5} 0.5 = 1$. Таким образом, $\log_{0.5} 0.1$ - положительное число, большее 1.
4. Теперь сравним полученные значения: $\log_3 0.5$ - отрицательное число, $\lg 1 = 0$, а $\log_{0.5} 0.1$ - положительное число.
Следовательно, $\log_3 0.5 < \lg 1 < \log_{0.5} 0.1$.
Ответ: $\log_3 0.5$, $\lg 1$, $\log_{0.5} 0.1$.

в) Для того чтобы расположить числа $\log_7 9$, $\log_3 1$ и $\log_5 4$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\log_3 1 = 0$.
2. Оценим $\log_7 9$. Основание $7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая. Так как аргумент $9 > 7$ (основания), то $\log_7 9 > \log_7 7 = 1$.
3. Оценим $\log_5 4$. Основание $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ возрастающая. Так как аргумент $4 < 5$ (основания) и $4 > 1$, то $\log_5 1 < \log_5 4 < \log_5 5$, что означает $0 < \log_5 4 < 1$.
4. Сравним полученные значения: $\log_3 1 = 0$, $\log_5 4$ находится в интервале $(0, 1)$, а $\log_7 9$ больше 1.
Следовательно, $\log_3 1 < \log_5 4 < \log_7 9$.
Ответ: $\log_3 1$, $\log_5 4$, $\log_7 9$.

г) Для того чтобы расположить числа $\log_{0.2} 0.3$, $\log_7 0.6$ и $\log_2 1$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\log_2 1 = 0$.
2. Оценим $\log_7 0.6$. Основание $7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая. Так как аргумент $0.6 < 1$, то $\log_7 0.6 < \log_7 1 = 0$. Следовательно, $\log_7 0.6$ - отрицательное число.
3. Оценим $\log_{0.2} 0.3$. Основание $0.2 < 1$, функция $y = \log_{0.2} x$ убывающая. Так как $0.2 < 0.3 < 1$, то, применяя логарифм по основанию 0.2, меняем знаки неравенства: $\log_{0.2} 0.2 > \log_{0.2} 0.3 > \log_{0.2} 1$. Это означает $1 > \log_{0.2} 0.3 > 0$.
4. Сравним полученные значения: $\log_7 0.6 < 0$, $\log_2 1 = 0$, а $\log_{0.2} 0.3$ находится в интервале $(0, 1)$.
Следовательно, $\log_7 0.6 < \log_2 1 < \log_{0.2} 0.3$.
Ответ: $\log_7 0.6$, $\log_2 1$, $\log_{0.2} 0.3$.