Страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.11. a) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

Для решения этого примера необходимо упростить выражение под знаком кубического корня. Упростим каждое слагаемое в отдельности, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Упростим первое слагаемое $81^{\log_9 6}$.

Представим основание 81 как степень числа 9: $81 = 9^2$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$(9^2)^{\log_9 6}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$9^{2 \cdot \log_9 6}$

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$9^{\log_9 6^2} = 9^{\log_9 36}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$9^{\log_9 36} = 36$

2. Упростим второе слагаемое $7^{\log_7 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$7^{\log_7 9} = 9$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение под корнем:

$\sqrt[3]{36 - 9} = \sqrt[3]{27}$

Вычисляем кубический корень из 27:

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

Для решения этого примера необходимо упростить выражение под знаком корня четвертой степени. Упростим каждое слагаемое в отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $36^{\log_6 5}$.

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$(6^2)^{\log_6 5}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$6^{2 \cdot \log_6 5}$

Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 25} = 25$

2. Упростим второе слагаемое $5^{\log_5 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$5^{\log_5 9} = 9$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение под корнем:

$\sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[4]{16}$

Вычисляем корень четвертой степени из 16:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

Ответ: 2

16.12. а) $2^{2 + \log_2 5}$;

б) $5^{\log_5 16 - 1}$;

В) $3^{1 + \log_3 8}$;

Г) $8^{\log_8 3 - 2}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

Исходное выражение: $2^{2 + \log_2 5}$.

Применяем свойство степени: $2^{2 + \log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5}$.

Теперь вычислим каждую часть по отдельности. $2^2 = 4$.

Применяем основное логарифмическое тождество: $2^{\log_2 5} = 5$.

Перемножаем полученные результаты: $4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: 20

б)

Для решения этого примера используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Исходное выражение: $5^{\log_5 16 - 1}$.

Применяем свойство степени: $5^{\log_5 16 - 1} = \frac{5^{\log_5 16}}{5^1}$.

Применяем основное логарифмическое тождество к числителю: $5^{\log_5 16} = 16$.

Знаменатель равен $5^1 = 5$.

Делим числитель на знаменатель: $\frac{16}{5}$.

Ответ: $\frac{16}{5}$

в)

Здесь мы также используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

Исходное выражение: $3^{1 + \log_3 8}$.

Применяем свойство степени: $3^{1 + \log_3 8} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 8}$.

Вычисляем каждую часть: $3^1 = 3$.

Применяем основное логарифмическое тождество: $3^{\log_3 8} = 8$.

Перемножаем результаты: $3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: 24

г)

Для решения последнего примера воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

Исходное выражение: $8^{\log_8 3 - 2}$.

Применяем свойство степени: $8^{\log_8 3 - 2} = \frac{8^{\log_8 3}}{8^2}$.

Применяем основное логарифмическое тождество к числителю: $8^{\log_8 3} = 3$.

Вычисляем знаменатель: $8^2 = 64$.

Получаем дробь: $\frac{3}{64}$.

Ответ: $\frac{3}{64}$

16.13. a) $2^{3 \log_2 4}$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$;

В) $5^{2 \log_5 3}$;

Г) $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.

а) Для вычисления значения выражения $2^{3 \log_2 4}$ воспользуемся свойством логарифма: $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$.
Применим это свойство к показателю степени:
$3 \log_2 4 = \log_2 4^3$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$2^{\log_2 4^3}$.
Далее используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
$2^{\log_2 4^3} = 4^3$.
Вычислим результат:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64

б) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$ воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущем пункте.
Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:
$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 7^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 7^2}$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где основание $a = \frac{1}{2}$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 7^2} = 7^2$.
Вычислим результат:
$7^2 = 49$.
Ответ: 49

в) Для вычисления значения выражения $5^{2 \log_5 3}$ применим свойство $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$ к показателю степени:
$2 \log_5 3 = \log_5 3^2$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^2}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где $a=5$, получаем:
$5^{\log_5 3^2} = 3^2$.
Вычислим результат:
$3^2 = 9$.
Ответ: 9

г) Для вычисления значения выражения $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$ используем те же логарифмические свойства.
Преобразуем показатель степени с помощью свойства $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:
$3 \log_{0,3} 6 = \log_{0,3} 6^3$.
Перепишем исходное выражение:
$(0,3)^{3 \log_{0,3} 6} = (0,3)^{\log_{0,3} 6^3}$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где основание $a = 0,3$:
$(0,3)^{\log_{0,3} 6^3} = 6^3$.
Вычислим конечный результат:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

16.14. а) $8^{\log_2 3}$;

б) $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$;

в) $25^{\log_5 3}$;

г) $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Для этого необходимо, чтобы основание степени совпадало с основанием логарифма.
Представим основание степени 8 как степень числа 2, поскольку основание логарифма равно 2: $8 = 2^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \cdot \log_2 3}$
Теперь воспользуемся свойством логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2^{3 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^3)} = 2^{\log_2 27}$
Применяем основное логарифмическое тождество:
$2^{\log_2 27} = 27$
Ответ: 27.

б) Для приведения выражения к основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, приведем основание степени к основанию логарифма.
Основание степени равно $\frac{1}{9}$, а основание логарифма $\frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$
Подставим в исходное выражение:
$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = ((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13}$
Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} (13^2)} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169}$
Теперь по основному логарифмическому тождеству:
$(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169} = 169$
Ответ: 169.

в) Приведем основание степени 25 к основанию логарифма 5.
$25 = 5^2$
Подставим это в выражение:
$25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3}$
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \cdot \log_5 3}$
По свойству логарифмов $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$5^{2 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^2)} = 5^{\log_5 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$5^{\log_5 9} = 9$
Ответ: 9.

г) Для решения необходимо привести основание степени к основанию логарифма. Основание степени $\frac{1}{16}$, основание логарифма $\frac{1}{2}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$
Подставим в исходное выражение:
$(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = ((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5}$
Далее, по свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (5^4)} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625}$
Наконец, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625} = 625$
Ответ: 625.

16.15. а) $36^{\frac{1}{2} \log_6 18}$;

б) $64^{\frac{1}{4} \log_8 25}$;

в) $121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35}$;

г) $25^{\frac{1}{4} \log_5 9}$.

а) $36^{\frac{1}{2}\log_6 18}$
Для решения данного примера преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание степени $36$ как степень числа $6$, поскольку основание логарифма также равно $6$.
$36 = 6^2$
Подставим это в исходное выражение:
$36^{\frac{1}{2}\log_6 18} = (6^2)^{\frac{1}{2}\log_6 18}$
2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели:
$(6^2)^{\frac{1}{2}\log_6 18} = 6^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_6 18} = 6^{\log_6 18}$
3. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 18} = 18$
Ответ: 18

б) $64^{\frac{1}{4}\log_8 25}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $64$ как степень числа $8$, поскольку основание логарифма равно $8$.
$64 = 8^2$
Подставим это в исходное выражение:
$64^{\frac{1}{4}\log_8 25} = (8^2)^{\frac{1}{4}\log_8 25}$
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(8^2)^{\frac{1}{4}\log_8 25} = 8^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_8 25} = 8^{\frac{1}{2}\log_8 25}$
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ в показатель степени подлогарифмического выражения:
$8^{\frac{1}{2}\log_8 25} = 8^{\log_8 25^{\frac{1}{2}}} = 8^{\log_8 \sqrt{25}} = 8^{\log_8 5}$
4. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$8^{\log_8 5} = 5$
Ответ: 5

в) $121^{\frac{1}{2}\log_{11} 35}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $121$ как степень числа $11$, поскольку основание логарифма равно $11$.
$121 = 11^2$
Подставим это в исходное выражение:
$121^{\frac{1}{2}\log_{11} 35} = (11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11} 35}$
2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11} 35} = 11^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{11} 35} = 11^{\log_{11} 35}$
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$11^{\log_{11} 35} = 35$
Ответ: 35

г) $25^{\frac{1}{4}\log_5 9}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $25$ как степень числа $5$, поскольку основание логарифма равно $5$.
$25 = 5^2$
Подставим это в исходное выражение:
$25^{\frac{1}{4}\log_5 9} = (5^2)^{\frac{1}{4}\log_5 9}$
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 9}$
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ в показатель степени подлогарифмического выражения:
$5^{\frac{1}{2}\log_5 9} = 5^{\log_5 9^{\frac{1}{2}}} = 5^{\log_5 \sqrt{9}} = 5^{\log_5 3}$
4. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 3} = 3$
Ответ: 3

16.16. a) $\left(\frac{1}{4}\right)^{1 + 0.5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$;

Б) $25^{1 - 0.5 \log_5 11}$;

В) $\left(\frac{1}{9}\right)^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$;

Г) $49^{1 - 0.5 \log_7 14}$.

а) Для решения выражения $(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
1. Представим основание степени $\frac{1}{4}$ как $(\frac{1}{2})^2$. Выражение примет вид: $((\frac{1}{2})^2)^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$.
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и умножим показатели: $(\frac{1}{2})^{2 \cdot (1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14)} = (\frac{1}{2})^{2 + \log_{\frac{1}{2}} 14}$.
3. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14}$.
4. Вычислим каждый множитель: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
5. Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, второй множитель равен $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = 14$.
6. Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

б) Для решения выражения $25^{1 - 0,5 \log_5 11}$ выполним следующие преобразования.
1. Представим основание $25$ как $5^2$. Выражение примет вид: $(5^2)^{1 - 0,5 \log_5 11}$.
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2 \cdot (1 - 0,5 \log_5 11)} = 5^{2 - \log_5 11}$.
3. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{5^2}{5^{\log_5 11}}$.
4. Вычислим числитель: $5^2 = 25$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, знаменатель равен $5^{\log_5 11} = 11$.
6. Получаем итоговую дробь: $\frac{25}{11}$.
Ответ: $\frac{25}{11}$.

в) Для решения выражения $(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$ поступим аналогично пункту а).
1. Представим основание $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$. Выражение примет вид: $((\frac{1}{3})^2)^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$.
2. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(\frac{1}{3})^{2 \cdot (1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18)} = (\frac{1}{3})^{2 + \log_{\frac{1}{3}} 18}$.
3. Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18}$.
4. Вычислим первый множитель: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, второй множитель равен $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = 18$.
6. Перемножим полученные значения: $\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$.
Ответ: 2.

г) Для решения выражения $49^{1 - 0,5 \log_7 14}$ поступим аналогично пункту б).
1. Представим основание $49$ как $7^2$. Выражение примет вид: $(7^2)^{1 - 0,5 \log_7 14}$.
2. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{2 \cdot (1 - 0,5 \log_7 14)} = 7^{2 - \log_7 14}$.
3. Используем свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{7^2}{7^{\log_7 14}}$.
4. Вычислим числитель: $7^2 = 49$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, знаменатель равен $7^{\log_7 14} = 14$.
6. Получаем дробь и сокращаем её: $\frac{49}{14} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

16.17. a) $\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2}{\log_3 2}$;

Б) $\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2}$

В) $\frac{2\log_{0,5} 2 + \log_{0,5} \sqrt{10}}{\log_{0,5} 10 - \log_{0,5} \sqrt{10} + \log_{0,5} 4}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 16}{\log_{0,3} 15 - \log_{0,3} 30}$.

а) Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Преобразуем числитель:

$\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2 = \log_3 64^{\frac{1}{2}} - \log_3 2^2 = \log_3 \sqrt{64} - \log_3 4 = \log_3 8 - \log_3 4 = \log_3 \frac{8}{4} = \log_3 2$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1$.

Ответ: 1.

б) Используем свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Преобразуем числитель:

$\log_6 12 + 2\log_6 2 = \log_6 12 + \log_6 2^2 = \log_6 12 + \log_6 4 = \log_6 (12 \cdot 4) = \log_6 48$.

Преобразуем знаменатель:

$\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2 = \log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4 = \log_6 \sqrt[3]{27} + \log_6 16 = \log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3 \cdot 16) = \log_6 48$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1$.

Ответ: 1.

в) Применим свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Преобразуем числитель:

$2\log_{0,5} 2 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} 2^2 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} 4 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} (4\sqrt{10})$.

Преобразуем знаменатель:

$\log_{0,5} 10 - \log_{0,5} \sqrt{10} + \log_{0,5} 4 = \log_{0,5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0,5} 4 = \log_{0,5} (\sqrt{10} \cdot 4) = \log_{0,5} (4\sqrt{10})$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_{0,5} (4\sqrt{10})}{\log_{0,5} (4\sqrt{10})} = 1$.

Ответ: 1.

г) Воспользуемся свойствами логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ и $\log_a b^n = n\log_a b$.

Преобразуем знаменатель:

$\log_{0,3} 15 - \log_{0,3} 30 = \log_{0,3} \frac{15}{30} = \log_{0,3} \frac{1}{2}$.

Преобразуем числитель, выразив его через $\log_{0,3} \frac{1}{2}$:

$\log_{0,3} 16 = \log_{0,3} 2^4 = \log_{0,3} ((\frac{1}{2})^{-1})^4 = \log_{0,3} (\frac{1}{2})^{-4} = -4\log_{0,3} \frac{1}{2}$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{-4\log_{0,3} \frac{1}{2}}{\log_{0,3} \frac{1}{2}} = -4$.

Ответ: -4.

16.18. a) $ \frac{\log_5^2 15 - \log_5^2 3 + 2 \log_5 15 + 2 \log_5 3}{\log_5 15 + \log_5 3} $

б) $ \frac{3 (\log_5 15)(\log_5 9) - 2 \log_5^2 15 - \log_5^2 9}{\log_5 9 - \log_5 15} $

в) $ \frac{2 \log_3 12 - 4 \log_3^2 2 + \log_3^2 12 + 4 \log_3 2}{3 \log_3 12 + 6 \log_3 2} $

г) $ \frac{5 \log_4 3 \log_4 12 - 2 \log_4^2 3 - 3 \log_4^2 12}{2 \log_4 3 - 3 \log_4 12} $

а)Исходное выражение: $ \frac{\log_5^2 15 - \log_5^2 3 + 2 \log_5 15 + 2 \log_5 3}{\log_5 15 + \log_5 3} $.Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (\log_5^2 15 - \log_5^2 3) + (2 \log_5 15 + 2 \log_5 3) $.В первой скобке применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, а во второй вынесем общий множитель 2.Числитель примет вид: $ (\log_5 15 - \log_5 3)(\log_5 15 + \log_5 3) + 2(\log_5 15 + \log_5 3) $.Теперь вынесем общий множитель $ (\log_5 15 + \log_5 3) $ за скобки:$ (\log_5 15 + \log_5 3) \cdot [(\log_5 15 - \log_5 3) + 2] $.Подставим это обратно в дробь:$ \frac{(\log_5 15 + \log_5 3) \cdot (\log_5 15 - \log_5 3 + 2)}{\log_5 15 + \log_5 3} $.Сократим дробь на $ (\log_5 15 + \log_5 3) $:$ \log_5 15 - \log_5 3 + 2 $.Используем свойство разности логарифмов $ \log_b x - \log_b y = \log_b (x/y) $:$ \log_5(15/3) + 2 = \log_5 5 + 2 $.Поскольку $ \log_5 5 = 1 $, получаем:$ 1 + 2 = 3 $.
Ответ: 3

б)Исходное выражение: $ \frac{3 (\log_5 15)(\log_5 9) - 2 \log_5^2 15 - \log_5^2 9}{\log_5 9 - \log_5 15} $.Для упрощения введем замену: пусть $ x = \log_5 15 $ и $ y = \log_5 3 $.Тогда $ \log_5 9 = \log_5(3^2) = 2\log_5 3 = 2y $.Подставим эти обозначения в выражение.Числитель: $ 3(x)(2y) - 2x^2 - (2y)^2 = 6xy - 2x^2 - 4y^2 $.Знаменатель: $ 2y - x $.Дробь: $ \frac{6xy - 2x^2 - 4y^2}{2y - x} $.Вынесем общий множитель -2 в числителе: $ \frac{-2(x^2 - 3xy + 2y^2)}{2y - x} $.Разложим выражение в скобках на множители: $ x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y) $.Дробь примет вид: $ \frac{-2(x - y)(x - 2y)}{2y - x} $.Заметим, что $ 2y - x = -(x - 2y) $. Подставим это в знаменатель:$ \frac{-2(x - y)(x - 2y)}{-(x - 2y)} $.Сократим дробь на $ -(x - 2y) $:$ 2(x - y) $.Вернемся к логарифмам:$ 2(\log_5 15 - \log_5 3) $.Используя свойство разности логарифмов, получаем:$ 2 \log_5(15/3) = 2 \log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2 $.
Ответ: 2

в)Исходное выражение: $ \frac{2 \log_3 12 - 4 \log_3^2 2 + \log_3^2 12 + 4 \log_3 2}{3 \log_3 12 + 6 \log_3 2} $.Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (\log_3^2 12 - 4 \log_3^2 2) + (2 \log_3 12 + 4 \log_3 2) $.Представим $ 4 \log_3^2 2 $ как $ (2 \log_3 2)^2 $. Теперь к первой группе можно применить формулу разности квадратов, а во второй вынести общий множитель 2:$ (\log_3 12 - 2 \log_3 2)(\log_3 12 + 2 \log_3 2) + 2(\log_3 12 + 2 \log_3 2) $.Вынесем общий множитель $ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) $ за скобки:$ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) \cdot [(\log_3 12 - 2 \log_3 2) + 2] $.В знаменателе вынесем за скобки 3: $ 3(\log_3 12 + 2 \log_3 2) $.Запишем всю дробь:$ \frac{(\log_3 12 + 2 \log_3 2)(\log_3 12 - 2 \log_3 2 + 2)}{3(\log_3 12 + 2 \log_3 2)} $.Сократим дробь на $ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) $:$ \frac{\log_3 12 - 2 \log_3 2 + 2}{3} $.Применим свойство $ n\log_b x = \log_b(x^n) $:$ \frac{\log_3 12 - \log_3(2^2) + 2}{3} = \frac{\log_3 12 - \log_3 4 + 2}{3} $.Теперь применим свойство разности логарифмов:$ \frac{\log_3(12/4) + 2}{3} = \frac{\log_3 3 + 2}{3} $.Так как $ \log_3 3 = 1 $, получаем:$ \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.
Ответ: 1

г)Исходное выражение: $ \frac{5 \log_4 3 \log_4 12 - 2 \log_4^2 3 - 3 \log_4^2 12}{2 \log_4 3 - 3 \log_4 12} $.Введем замену: пусть $ x = \log_4 3 $ и $ y = \log_4 12 $.Выражение примет вид: $ \frac{5xy - 2x^2 - 3y^2}{2x - 3y} $.Вынесем минус в числителе: $ \frac{-(2x^2 - 5xy + 3y^2)}{2x - 3y} $.Разложим на множители квадратный трехчлен в числителе:$ 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 2x^2 - 2xy - 3xy + 3y^2 = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (2x-3y)(x-y) $.Подставим разложение в дробь:$ \frac{-(2x-3y)(x-y)}{2x - 3y} $.Сократим дробь на $ (2x - 3y) $:$ -(x-y) = y-x $.Вернемся к логарифмам:$ \log_4 12 - \log_4 3 $.Используя свойство разности логарифмов, получаем:$ \log_4(12/3) = \log_4 4 = 1 $.
Ответ: 1