Номер 16.18, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.18, страница 97.

16.18. a) $ \frac{\log_5^2 15 - \log_5^2 3 + 2 \log_5 15 + 2 \log_5 3}{\log_5 15 + \log_5 3} $

б) $ \frac{3 (\log_5 15)(\log_5 9) - 2 \log_5^2 15 - \log_5^2 9}{\log_5 9 - \log_5 15} $

в) $ \frac{2 \log_3 12 - 4 \log_3^2 2 + \log_3^2 12 + 4 \log_3 2}{3 \log_3 12 + 6 \log_3 2} $

г) $ \frac{5 \log_4 3 \log_4 12 - 2 \log_4^2 3 - 3 \log_4^2 12}{2 \log_4 3 - 3 \log_4 12} $

а)Исходное выражение: $ \frac{\log_5^2 15 - \log_5^2 3 + 2 \log_5 15 + 2 \log_5 3}{\log_5 15 + \log_5 3} $.Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (\log_5^2 15 - \log_5^2 3) + (2 \log_5 15 + 2 \log_5 3) $.В первой скобке применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, а во второй вынесем общий множитель 2.Числитель примет вид: $ (\log_5 15 - \log_5 3)(\log_5 15 + \log_5 3) + 2(\log_5 15 + \log_5 3) $.Теперь вынесем общий множитель $ (\log_5 15 + \log_5 3) $ за скобки:$ (\log_5 15 + \log_5 3) \cdot [(\log_5 15 - \log_5 3) + 2] $.Подставим это обратно в дробь:$ \frac{(\log_5 15 + \log_5 3) \cdot (\log_5 15 - \log_5 3 + 2)}{\log_5 15 + \log_5 3} $.Сократим дробь на $ (\log_5 15 + \log_5 3) $:$ \log_5 15 - \log_5 3 + 2 $.Используем свойство разности логарифмов $ \log_b x - \log_b y = \log_b (x/y) $:$ \log_5(15/3) + 2 = \log_5 5 + 2 $.Поскольку $ \log_5 5 = 1 $, получаем:$ 1 + 2 = 3 $.
Ответ: 3

б)Исходное выражение: $ \frac{3 (\log_5 15)(\log_5 9) - 2 \log_5^2 15 - \log_5^2 9}{\log_5 9 - \log_5 15} $.Для упрощения введем замену: пусть $ x = \log_5 15 $ и $ y = \log_5 3 $.Тогда $ \log_5 9 = \log_5(3^2) = 2\log_5 3 = 2y $.Подставим эти обозначения в выражение.Числитель: $ 3(x)(2y) - 2x^2 - (2y)^2 = 6xy - 2x^2 - 4y^2 $.Знаменатель: $ 2y - x $.Дробь: $ \frac{6xy - 2x^2 - 4y^2}{2y - x} $.Вынесем общий множитель -2 в числителе: $ \frac{-2(x^2 - 3xy + 2y^2)}{2y - x} $.Разложим выражение в скобках на множители: $ x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y) $.Дробь примет вид: $ \frac{-2(x - y)(x - 2y)}{2y - x} $.Заметим, что $ 2y - x = -(x - 2y) $. Подставим это в знаменатель:$ \frac{-2(x - y)(x - 2y)}{-(x - 2y)} $.Сократим дробь на $ -(x - 2y) $:$ 2(x - y) $.Вернемся к логарифмам:$ 2(\log_5 15 - \log_5 3) $.Используя свойство разности логарифмов, получаем:$ 2 \log_5(15/3) = 2 \log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2 $.
Ответ: 2

в)Исходное выражение: $ \frac{2 \log_3 12 - 4 \log_3^2 2 + \log_3^2 12 + 4 \log_3 2}{3 \log_3 12 + 6 \log_3 2} $.Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (\log_3^2 12 - 4 \log_3^2 2) + (2 \log_3 12 + 4 \log_3 2) $.Представим $ 4 \log_3^2 2 $ как $ (2 \log_3 2)^2 $. Теперь к первой группе можно применить формулу разности квадратов, а во второй вынести общий множитель 2:$ (\log_3 12 - 2 \log_3 2)(\log_3 12 + 2 \log_3 2) + 2(\log_3 12 + 2 \log_3 2) $.Вынесем общий множитель $ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) $ за скобки:$ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) \cdot [(\log_3 12 - 2 \log_3 2) + 2] $.В знаменателе вынесем за скобки 3: $ 3(\log_3 12 + 2 \log_3 2) $.Запишем всю дробь:$ \frac{(\log_3 12 + 2 \log_3 2)(\log_3 12 - 2 \log_3 2 + 2)}{3(\log_3 12 + 2 \log_3 2)} $.Сократим дробь на $ (\log_3 12 + 2 \log_3 2) $:$ \frac{\log_3 12 - 2 \log_3 2 + 2}{3} $.Применим свойство $ n\log_b x = \log_b(x^n) $:$ \frac{\log_3 12 - \log_3(2^2) + 2}{3} = \frac{\log_3 12 - \log_3 4 + 2}{3} $.Теперь применим свойство разности логарифмов:$ \frac{\log_3(12/4) + 2}{3} = \frac{\log_3 3 + 2}{3} $.Так как $ \log_3 3 = 1 $, получаем:$ \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $.
Ответ: 1

г)Исходное выражение: $ \frac{5 \log_4 3 \log_4 12 - 2 \log_4^2 3 - 3 \log_4^2 12}{2 \log_4 3 - 3 \log_4 12} $.Введем замену: пусть $ x = \log_4 3 $ и $ y = \log_4 12 $.Выражение примет вид: $ \frac{5xy - 2x^2 - 3y^2}{2x - 3y} $.Вынесем минус в числителе: $ \frac{-(2x^2 - 5xy + 3y^2)}{2x - 3y} $.Разложим на множители квадратный трехчлен в числителе:$ 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 2x^2 - 2xy - 3xy + 3y^2 = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (2x-3y)(x-y) $.Подставим разложение в дробь:$ \frac{-(2x-3y)(x-y)}{2x - 3y} $.Сократим дробь на $ (2x - 3y) $:$ -(x-y) = y-x $.Вернемся к логарифмам:$ \log_4 12 - \log_4 3 $.Используя свойство разности логарифмов, получаем:$ \log_4(12/3) = \log_4 4 = 1 $.
Ответ: 1