Номер 16.22, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.22, страница 98.

Сравните числа:

16.22. a) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;

б) $\log_{0,5} 3$ и $\sin 3$;

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\lg 0,2$ и $\cos 0,2$.

а) Сравним числа $ \log_3 4 $ и $ \sqrt[3]{9} $.

Для сравнения этих чисел воспользуемся промежуточным значением. В качестве такого значения удобно взять дробь $ 4/3 $.

1. Сравним $ \log_3 4 $ с $ 4/3 $.

Поскольку функция $ y=3^x $ является возрастающей, сравнение $ \log_3 4 $ и $ 4/3 $ равносильно сравнению $ 3^{\log_3 4} $ и $ 3^{4/3} $.

$ 3^{\log_3 4} = 4 $.

$ 3^{4/3} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81} $.

Теперь сравним $ 4 $ и $ \sqrt[3]{81} $. Для этого возведем оба числа в куб:

$ 4^3 = 64 $.

$ (\sqrt[3]{81})^3 = 81 $.

Так как $ 64 < 81 $, то $ 4 < \sqrt[3]{81} $. Следовательно, $ 3^{\log_3 4} < 3^{4/3} $, а значит $ \log_3 4 < 4/3 $.

2. Сравним $ \sqrt[3]{9} $ с $ 4/3 $.

Возведем оба числа в куб:

$ (\sqrt[3]{9})^3 = 9 $.

$ (4/3)^3 = 64/27 = 2\frac{10}{27} $.

Так как $ 9 > 2\frac{10}{27} $, то $ \sqrt[3]{9} > 4/3 $.

3. Итог.

Мы получили, что $ \log_3 4 < 4/3 $ и $ \sqrt[3]{9} > 4/3 $. Из этого следует, что $ \log_3 4 < \sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ \log_3 4 < \sqrt[3]{9} $.

б) Сравним числа $ \log_{0.5} 3 $ и $ \sin 3 $.

1. Оценим значение $ \log_{0.5} 3 $.

Основание логарифма $ 0.5 $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому логарифмическая функция $ y = \log_{0.5} x $ является убывающей.

Поскольку $ 3 > 1 $, то $ \log_{0.5} 3 < \log_{0.5} 1 $.

Так как $ \log_{0.5} 1 = 0 $, получаем, что $ \log_{0.5} 3 < 0 $. То есть $ \log_{0.5} 3 $ — отрицательное число.

2. Оценим значение $ \sin 3 $.

Аргумент синуса дан в радианах. Используем приближенное значение числа $ \pi \approx 3.14159 $.

Мы знаем, что $ \pi/2 \approx 1.57 $.

Таким образом, $ \pi/2 < 3 < \pi $. Это означает, что угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти.

Синус во второй четверти положителен, следовательно, $ \sin 3 > 0 $.

3. Сравнение.

Число $ \log_{0.5} 3 $ отрицательное, а число $ \sin 3 $ — положительное. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $ \log_{0.5} 3 < \sin 3 $.

Ответ: $ \log_{0.5} 3 < \sin 3 $.

в) Сравним числа $ \log_2 5 $ и $ \sqrt[3]{7} $.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с числом 2.

1. Оценим $ \log_2 5 $.

Основание логарифма $ 2 > 1 $, поэтому функция $ y = \log_2 x $ является возрастающей.

Сравним $ 5 $ с $ 2^2 = 4 $.

Так как $ 5 > 4 $, то $ \log_2 5 > \log_2 4 $.

Поскольку $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $, то $ \log_2 5 > 2 $.

2. Оценим $ \sqrt[3]{7} $.

Сравним $ 7 $ с $ 2^3 = 8 $.

Так как $ 7 < 8 $, то, извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем $ \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8} $.

Поскольку $ \sqrt[3]{8} = 2 $, то $ \sqrt[3]{7} < 2 $.

3. Итог.

Мы получили, что $ \log_2 5 > 2 $ и $ \sqrt[3]{7} < 2 $. Из этого следует, что $ \log_2 5 > \sqrt[3]{7} $.

Ответ: $ \log_2 5 > \sqrt[3]{7} $.

г) Сравним числа $ \lg 0.2 $ и $ \cos 0.2 $.

1. Оценим значение $ \lg 0.2 $.

$ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} $. Основание $ 10 > 1 $, поэтому функция $ y = \lg x $ является возрастающей.

Сравним аргумент $ 0.2 $ с $ 1 $.

Так как $ 0.2 < 1 $, то $ \lg 0.2 < \lg 1 $.

Поскольку $ \lg 1 = 0 $, получаем, что $ \lg 0.2 < 0 $. То есть $ \lg 0.2 $ — отрицательное число.

2. Оценим значение $ \cos 0.2 $.

Аргумент косинуса дан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi/2 \approx 1.57 $.

Угол $ 0.2 $ радиана удовлетворяет неравенству $ 0 < 0.2 < \pi/2 $. Это означает, что он находится в первой координатной четверти.

Косинус в первой четверти положителен, следовательно, $ \cos 0.2 > 0 $.

3. Сравнение.

Число $ \lg 0.2 $ отрицательное, а число $ \cos 0.2 $ — положительное.

Следовательно, $ \lg 0.2 < \cos 0.2 $.

Ответ: $ \lg 0.2 < \cos 0.2 $.