Номер 16.29, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.29, страница 99.

16.29. a) $\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - 2 \log_{0,3} b;$

б) $\log_5 x = \log_5 c - 2 \log_5 b + \log_5 a;$

в) $\log_{2,3} x = 4 \log_{2,3} c - 3 \log_{2,3} b;$

г) $\log_{\frac{1}{7}} x = 3 \log_{\frac{1}{7}} a - 4 \log_{\frac{1}{7}} c + \log_{\frac{1}{7}} b.$

а) Исходное уравнение: $\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - 2 \log_{0,3} b$.
Для решения воспользуемся свойствами логарифмов. Цель — представить правую часть уравнения в виде одного логарифма с тем же основанием 0,3.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$ ко второму члену в правой части уравнения:
$2 \log_{0,3} b = \log_{0,3} (b^2)$.
2. Теперь уравнение выглядит так:
$\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - \log_{0,3} (b^2)$.
3. Далее применим свойство разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_{0,3} a - \log_{0,3} (b^2) = \log_{0,3} \left(\frac{a}{b^2}\right)$.
4. Таким образом, мы получаем уравнение:
$\log_{0,3} x = \log_{0,3} \left(\frac{a}{b^2}\right)$.
5. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы (подкоренные выражения) должны быть равны:
$x = \frac{a}{b^2}$.
Ответ: $x = \frac{a}{b^2}$.

б) Исходное уравнение: $\log_5 x = \log_5 c - 2 \log_5 b + \log_5 a$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов, чтобы получить один логарифм по основанию 5.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$:
$2 \log_5 b = \log_5 (b^2)$.
2. Уравнение принимает вид:
$\log_5 x = \log_5 c - \log_5 (b^2) + \log_5 a$.
3. Сгруппируем слагаемые. Используем свойство суммы логарифмов $\log_k m + \log_k n = \log_k (m \cdot n)$ и разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_5 x = (\log_5 c + \log_5 a) - \log_5 (b^2) = \log_5 (c \cdot a) - \log_5 (b^2) = \log_5 \left(\frac{ac}{b^2}\right)$.
4. Получаем уравнение:
$\log_5 x = \log_5 \left(\frac{ac}{b^2}\right)$.
5. Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{ac}{b^2}$.
Ответ: $x = \frac{ac}{b^2}$.

в) Исходное уравнение: $\log_{2,3} x = 4 \log_{2,3} c - 3 \log_{2,3} b$.
Преобразуем правую часть в один логарифм с основанием 2,3.
1. Используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$ для обоих членов в правой части:
$4 \log_{2,3} c = \log_{2,3} (c^4)$.
$3 \log_{2,3} b = \log_{2,3} (b^3)$.
2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\log_{2,3} x = \log_{2,3} (c^4) - \log_{2,3} (b^3)$.
3. Теперь применим свойство разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_{2,3} (c^4) - \log_{2,3} (b^3) = \log_{2,3} \left(\frac{c^4}{b^3}\right)$.
4. Получаем уравнение:
$\log_{2,3} x = \log_{2,3} \left(\frac{c^4}{b^3}\right)$.
5. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = \frac{c^4}{b^3}$.
Ответ: $x = \frac{c^4}{b^3}$.

г) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{7}} x = 3 \log_{\frac{1}{7}} a - 4 \log_{\frac{1}{7}} c + \log_{\frac{1}{7}} b$.
Преобразуем правую часть уравнения в один логарифм по основанию $\frac{1}{7}$.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$:
$3 \log_{\frac{1}{7}} a = \log_{\frac{1}{7}} (a^3)$.
$4 \log_{\frac{1}{7}} c = \log_{\frac{1}{7}} (c^4)$.
2. Уравнение принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} (a^3) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) + \log_{\frac{1}{7}} b$.
3. Сгруппируем члены и применим свойства суммы и разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{7}} x = (\log_{\frac{1}{7}} (a^3) + \log_{\frac{1}{7}} b) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) = \log_{\frac{1}{7}} (a^3 b) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) = \log_{\frac{1}{7}} \left(\frac{a^3 b}{c^4}\right)$.
4. Получаем итоговое уравнение:
$\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} \left(\frac{a^3 b}{c^4}\right)$.
5. Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{a^3 b}{c^4}$.
Ответ: $x = \frac{a^3 b}{c^4}$.