Номер 16.28, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.28, страница 99.

16.28. a) $ \lg x = \lg 7 - \lg 3 + \lg 8; $

б) $ \lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2} \lg 9; $

в) $ \lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 4; $

г) $ \lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25. $

а) $\lg x = \lg 7 - \lg 3 + \lg 8$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами логарифмов: свойством разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$ и свойством суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$.

Применим эти свойства к правой части уравнения, выполняя действия по порядку:

$\lg 7 - \lg 3 + \lg 8 = \lg \frac{7}{3} + \lg 8 = \lg \left( \frac{7}{3} \cdot 8 \right) = \lg \frac{56}{3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\lg x = \lg \frac{56}{3}$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны (десятичный логарифм, основание 10), то и их аргументы должны быть равны:

$x = \frac{56}{3}$

Ответ: $x = \frac{56}{3}$.

б) $\lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2} \lg 9$

Воспользуемся свойством степени логарифма: $c \cdot \lg a = \lg a^c$. Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$2 \lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9$

$\frac{1}{2} \lg 9 = \lg 9^{1/2} = \lg \sqrt{9} = \lg 3$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$\lg x = \lg 9 + \lg 6 - \lg 3$

Теперь используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(9 \cdot 6) - \lg 3 = \lg 54 - \lg 3 = \lg \frac{54}{3} = \lg 18$

Получаем уравнение:

$\lg x = \lg 18$

Отсюда следует, что:

$x = 18$

Ответ: $x = 18$.

в) $\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 4$

Применим свойство степени логарифма $c \cdot \lg a = \lg a^c$ к каждому члену в правой части уравнения:

$\frac{1}{2} \lg 3 = \lg 3^{1/2} = \lg \sqrt{3}$

$\frac{2}{3} \lg 5 = \lg 5^{2/3} = \lg \sqrt[3]{5^2} = \lg \sqrt[3]{25}$

$\frac{1}{3} \lg 4 = \lg 4^{1/3} = \lg \sqrt[3]{4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{25} - \lg \sqrt[3]{4}$

Используя свойства суммы и разности логарифмов, объединим правую часть в один логарифм:

$\lg x = \lg (\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}) - \lg \sqrt[3]{4} = \lg \left( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}} \right) = \lg \left( \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}} \right)$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}}$

Ответ: $x = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}}$.

г) $\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25$

Сначала преобразуем все члены в правой части, приведя их к логарифмам от числа 5.

$\lg \sqrt{5} = \lg 5^{1/2} = \frac{1}{2} \lg 5$

$\lg 25 = \lg 5^2 = 2 \lg 5$

Подставим эти выражения в правую часть уравнения:

$\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 5 + \frac{1}{4} (2 \lg 5)$

Упростим полученное выражение:

$\lg x = \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \lg 5 + \frac{2}{4} \lg 5$

$\lg x = 0 \cdot \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 5$

$\lg x = \frac{1}{2} \lg 5$

Теперь применим свойство степени логарифма:

$\lg x = \lg 5^{1/2} = \lg \sqrt{5}$

Следовательно:

$x = \sqrt{5}$

Ответ: $x = \sqrt{5}$.