Номер 16.21, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.21, страница 98.

16.21. $\log_4 \sin \frac{\pi}{16} + \log_4 \cos \frac{\pi}{16} + \log_4 \left( \cos \frac{\pi}{16} - \sin \frac{\pi}{16} \right) - \log_4 \left( \cos \frac{\pi}{16} + \sin \frac{\pi}{16} \right)^{-1}$

16.21.

Данное выражение:

$$ \log_{4}\sin\frac{\pi}{16} + \log_{4}\cos\frac{\pi}{16} + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) - \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)^{-1} $$

1. Упростим последний член выражения, используя свойство логарифма $\log_{a}b^n = n\log_{a}b$:

$$ -\log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)^{-1} = -(-1)\log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) = \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) $$

2. Подставим это обратно в исходное выражение:

$$ \log_{4}\sin\frac{\pi}{16} + \log_{4}\cos\frac{\pi}{16} + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) $$

3. Теперь, используя свойство суммы логарифмов $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$, объединим все слагаемые в один логарифм:

$$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)\right) $$

4. Упростим выражение под знаком логарифма. Сначала применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к последним двум множителям:

$$ \left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) = \cos^2\frac{\pi}{16} - \sin^2\frac{\pi}{16} $$

5. Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$$ \cos^2\frac{\pi}{16} - \sin^2\frac{\pi}{16} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \cos\frac{\pi}{8} $$

6. Теперь выражение под логарифмом имеет вид:

$$ \sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{8} $$

7. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$$ \sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8} $$

8. Подставим это обратно. Выражение под логарифмом становится:

$$ \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} $$

9. Снова применяем ту же формулу синуса двойного угла:

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{4} $$

10. Вычислим значение этого выражения, зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8} $$

11. Таким образом, исходное выражение свелось к вычислению простого логарифма:

$$ \log_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right) $$

12. Для вычисления представим основание $4$ и аргумент $\frac{\sqrt{2}}{8}$ в виде степеней числа 2:

$$ 4 = 2^2 $$

$$ \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2^{1/2}}{2^3} = 2^{1/2 - 3} = 2^{-5/2} $$

13. Пусть $\log_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right) = x$. По определению логарифма $a^x = b$:

$$ 4^x = \frac{\sqrt{2}}{8} $$

Подставим степенные представления:

$$ (2^2)^x = 2^{-5/2} $$

$$ 2^{2x} = 2^{-5/2} $$

14. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$ 2x = -\frac{5}{2} $$

$$ x = -\frac{5}{4} $$

Ответ: $-\frac{5}{4}$