Номер 16.27, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.27, страница 99.

Найдите число x по данному его логарифму:

16.27. а) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9;$

б) $\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5;$

в) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7.$

а) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b M - \log_b N = \log_b(M/N)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\log_2 72 - \log_2 9 = \log_2 \frac{72}{9} = \log_2 8$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\log_2 x = \log_2 8$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы (числа под знаком логарифма):

$x = 8$.

Ответ: 8.

б) $\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$

Для решения этого уравнения используем следующие свойства логарифмов:

1. Свойство степени логарифма: $k \log_b M = \log_b(M^k)$.

2. Свойство разности логарифмов: $\log_b M - \log_b N = \log_b(M/N)$.

3. Свойство суммы логарифмов: $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$.

Преобразуем правую часть уравнения. Сначала применим свойство степени:

$2 \log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{\sqrt{7}}(4^2) = \log_{\sqrt{7}} 16$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$.

Объединим логарифмы в правой части, используя свойства суммы и разности:

$\log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}}\left(\frac{16 \cdot 5}{2}\right) = \log_{\sqrt{7}}\left(\frac{80}{2}\right) = \log_{\sqrt{7}} 40$.

Получаем уравнение:

$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 40$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 40$.

Ответ: 40.

в) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}$

Здесь используется десятичный логарифм ($\lg x = \log_{10} x$). Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125} = \lg \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125}\right) = \lg \frac{1}{1000}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\lg x = \lg \frac{1}{1000}$.

Поскольку основания логарифмов равны (оба равны 10), приравниваем их аргументы:

$x = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $\frac{1}{1000}$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7$

Для решения этого уравнения используем свойства логарифмов, аналогичные пункту б).

Преобразуем правую часть уравнения. Сначала применим свойство степени логарифма $k \log_b M = \log_b(M^k)$ к последнему слагаемому:

$2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}}(7^2) = \log_{\frac{1}{3}} 49$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - \log_{\frac{1}{3}} 49$.

Объединим логарифмы в правой части, используя свойства суммы и разности логарифмов $\log_b A + \log_b B - \log_b C = \log_b\left(\frac{A \cdot B}{C}\right)$:

$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{7 \cdot 21}{9 \cdot 49}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{7 \cdot 3 \cdot 7}{3^2 \cdot 7^2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{3 \cdot 7^2}{9 \cdot 7^2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{9} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Получаем уравнение:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.