Номер 16.25, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.25, страница 99.

16.25. Известно, что $\log_5 3 = m$ и $\log_5 2 = n$. Выразите через $m$ и $n$:

a) $\log_5 6$;

б) $\log_5 18$;

в) $\log_5 24$;

г) $\log_5 72$.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов. Нам даны $ \log_{5}3 = m $ и $ \log_{5}2 = n $. Ключевые свойства, которые нам понадобятся:
1. Логарифм произведения: $ \log_{a}(xy) = \log_{a}x + \log_{a}y $
2. Логарифм степени: $ \log_{a}(x^k) = k \cdot \log_{a}x $
Наша цель - разложить числа под логарифмами на множители 2 и 3, а затем применить эти свойства.

а) Выразим $ \log_{5}6 $.
Сначала разложим число 6 на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $.
Теперь применим свойство логарифма произведения:
$ \log_{5}6 = \log_{5}(2 \cdot 3) = \log_{5}2 + \log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ \log_{5}2 + \log_{5}3 = n + m $
Ответ: $ m + n $

б) Выразим $ \log_{5}18 $.
Разложим число 18 на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}18 = \log_{5}(2 \cdot 3^2) = \log_{5}2 + \log_{5}(3^2) = \log_{5}2 + 2\log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ \log_{5}2 + 2\log_{5}3 = n + 2m $
Ответ: $ 2m + n $

в) Выразим $ \log_{5}24 $.
Разложим число 24 на простые множители: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}24 = \log_{5}(2^3 \cdot 3) = \log_{5}(2^3) + \log_{5}3 = 3\log_{5}2 + \log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ 3\log_{5}2 + \log_{5}3 = 3n + m $
Ответ: $ m + 3n $

г) Выразим $ \log_{5}72 $.
Разложим число 72 на простые множители: $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}72 = \log_{5}(2^3 \cdot 3^2) = \log_{5}(2^3) + \log_{5}(3^2) = 3\log_{5}2 + 2\log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ 3\log_{5}2 + 2\log_{5}3 = 3n + 2m $
Ответ: $ 2m + 3n $