Номер 16.20, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.20, страница 98.

16.20. a) $\log_3 \left( 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \right) - \log_3 \left( 1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8} \right);$

б) $\log_{\sqrt{3}} \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{19} \right) + \log_{\sqrt{3}} \left( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{19} \right);$

в) $\log_{\frac{1}{3}} \left( 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} \right) + \log_{\frac{1}{3}} \left( 1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{6} \right)^{-1};$

г) $\log_{\frac{1}{2}} \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \right) + \log_{\frac{1}{2}} \left( \operatorname{tg} \frac{5}{14}\pi \right).$

а) Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_3\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\right) - \log_3\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}\right) = \log_3\left(\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}\right) $
Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha} $.
В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{8} $, значит $ 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.
Таким образом, выражение упрощается до:
$ \log_3\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) $
Поскольку $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, получаем:
$ \log_3(1) = 0 $
Ответ: 0

б) Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $.
$ \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}\right) + \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19} \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right) $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $.
$ \log_{\sqrt{3}}(1) = 0 $
Ответ: 0

в) Используем свойство логарифма $ \log_a(b^p) = p\log_a b $, чтобы вынести степень $-1$ из второго логарифма.
$ \log_{\frac{1}{3}}\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}}\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) - \log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right) $
Теперь, как и в пункте а), применяем свойство разности логарифмов и формулу тангенса двойного угла.
$ \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\right) $
Значение тангенса $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.
Вычислим значение логарифма:
$ \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}) = \log_{3^{-1}}(3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2} $
Ответ: -0.5

г) Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $.
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{5\pi}{14}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{tg}\frac{5\pi}{14}\right) $
Заметим, что сумма углов $ \frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2} $.
Используем формулу приведения $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha $.
$ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{14} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7} $
Подставим это в выражение:
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}\right) $
Так как $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $, получаем:
$ \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0 $
Ответ: 0