Номер 16.26, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.26, страница 99.

16.26. Известно, что $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$. Выразите через $c$ и $a$:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$.

а) Чтобы выразить $\log_{\frac{1}{2}} 21$, представим число 21 как произведение $3 \times 7$. Затем воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
$\log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \times 7) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$
Согласно условию, $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$. Подставляем эти значения в выражение:
$a + c$
Ответ: $a+c$

б) Для выражения $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$ воспользуемся свойством логарифма частного: $\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b x - \log_b y$.
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42} = \log_{\frac{1}{2}} 1 - \log_{\frac{1}{2}} 42$
Зная, что логарифм единицы по любому основанию равен нулю ($\log_b 1 = 0$), получаем:
$0 - \log_{\frac{1}{2}} 42 = - \log_{\frac{1}{2}} 42$
Разложим число 42 на простые множители: $42 = 2 \times 3 \times 7$.
$- \log_{\frac{1}{2}} 42 = -(\log_{\frac{1}{2}} (2 \times 3 \times 7)) = -(\log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7)$
Нам понадобится значение $\log_{\frac{1}{2}} 2$. Вычислим его: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2^1 = -1 \cdot \log_2 2 = -1$.
Теперь подставим все известные значения в выражение:
$-(-1 + a + c) = 1 - a - c$
Ответ: $1-a-c$

в) Чтобы выразить $\log_{\frac{1}{2}} 147$, разложим 147 на простые множители: $147 = 3 \times 49 = 3 \times 7^2$.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$\log_{\frac{1}{2}} 147 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \times 7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7^2$
Используя свойство логарифма степени $\log_b(x^k) = k \log_b x$, получаем:
$\log_{\frac{1}{2}} 3 + 2\log_{\frac{1}{2}} 7$
Подставляем известные значения $a$ и $c$:
$a + 2c$
Ответ: $a+2c$

г) Для выражения $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$ используем свойство логарифма частного:
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 49 - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$
Теперь преобразуем каждое слагаемое, используя свойство логарифма степени ($\log_b(x^k) = k \log_b x$):
$\log_{\frac{1}{2}} 49 = \log_{\frac{1}{2}} 7^2 = 2\log_{\frac{1}{2}} 7 = 2c$
$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} = \log_{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}} 3 = \frac{1}{2}a$
Теперь вычтем второе из первого:
$2c - \frac{1}{2}a$
Ответ: $2c - \frac{1}{2}a$