Номер 16.24, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.24, страница 98.

16.24. а) Известно, что $log_{0.5} 3 = a$. Найдите $log_{0.5} 81$.

б) Известно, что $log_6 4 = m$. Найдите $log_6 24$.

в) Известно, что $log_6 42 = b$. Найдите $log_6 7$.

г) Известно, что $log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Найдите $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49}$.

а) По условию задачи известно, что $\log_{0,5} 3 = a$. Требуется найти значение выражения $\log_{0,5} 81$.
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала представим число 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.
Теперь подставим это представление в искомое выражение: $\log_{0,5} 81 = \log_{0,5} (3^4)$.
Используем свойство логарифма степени: $\log_b(x^p) = p \cdot \log_b x$. Применив это свойство, получаем: $\log_{0,5} (3^4) = 4 \cdot \log_{0,5} 3$.
Так как из условия нам известно, что $\log_{0,5} 3 = a$, мы можем подставить это значение в полученное выражение: $4 \cdot \log_{0,5} 3 = 4a$.
Ответ: $4a$.

б) По условию задачи известно, что $\log_6 4 = m$. Требуется найти значение выражения $\log_6 24$.
Для решения представим число 24 в виде произведения, одним из множителей которого будет основание логарифма, то есть 6: $24 = 6 \cdot 4$.
Подставим это в искомое выражение: $\log_6 24 = \log_6 (6 \cdot 4)$.
Используем свойство логарифма произведения: $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$. Применив это свойство, получаем: $\log_6 (6 \cdot 4) = \log_6 6 + \log_6 4$.
Значение $\log_6 6$ равно 1, так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($\log_b b = 1$). По условию $\log_6 4 = m$.
Подставим известные значения в выражение: $\log_6 6 + \log_6 4 = 1 + m$.
Ответ: $1 + m$.

в) По условию задачи известно, что $\log_6 42 = b$. Требуется найти значение выражения $\log_6 7$.
Рассмотрим данное нам выражение $\log_6 42 = b$. Представим число 42 в виде произведения: $42 = 6 \cdot 7$.
Подставим это в исходное равенство: $\log_6 (6 \cdot 7) = b$.
Используем свойство логарифма произведения $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$: $\log_6 6 + \log_6 7 = b$.
Так как $\log_6 6 = 1$, равенство принимает вид: $1 + \log_6 7 = b$.
Теперь выразим из этого равенства искомое значение $\log_6 7$: $\log_6 7 = b - 1$.
Ответ: $b - 1$.

г) По условию задачи известно, что $\log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Требуется найти значение выражения $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49}$.
Для решения представим число $\frac{1}{49}$ как степень числа 7: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.
Подставим это представление в искомое выражение: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49} = \log_{\frac{1}{3}} (7^{-2})$.
Используем свойство логарифма степени: $\log_b(x^p) = p \cdot \log_b x$. Применив это свойство, получаем: $\log_{\frac{1}{3}} (7^{-2}) = -2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 7$.
Из условия мы знаем, что $\log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Подставим это значение: $-2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 7 = -2d$.
Ответ: $-2d$.