Номер 16.17, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.17, страница 97.

16.17. a) $\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2}{\log_3 2}$;

Б) $\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2}$

В) $\frac{2\log_{0,5} 2 + \log_{0,5} \sqrt{10}}{\log_{0,5} 10 - \log_{0,5} \sqrt{10} + \log_{0,5} 4}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 16}{\log_{0,3} 15 - \log_{0,3} 30}$.

а) Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Преобразуем числитель:

$\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2 = \log_3 64^{\frac{1}{2}} - \log_3 2^2 = \log_3 \sqrt{64} - \log_3 4 = \log_3 8 - \log_3 4 = \log_3 \frac{8}{4} = \log_3 2$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1$.

Ответ: 1.

б) Используем свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Преобразуем числитель:

$\log_6 12 + 2\log_6 2 = \log_6 12 + \log_6 2^2 = \log_6 12 + \log_6 4 = \log_6 (12 \cdot 4) = \log_6 48$.

Преобразуем знаменатель:

$\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2 = \log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4 = \log_6 \sqrt[3]{27} + \log_6 16 = \log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3 \cdot 16) = \log_6 48$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1$.

Ответ: 1.

в) Применим свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Преобразуем числитель:

$2\log_{0,5} 2 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} 2^2 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} 4 + \log_{0,5} \sqrt{10} = \log_{0,5} (4\sqrt{10})$.

Преобразуем знаменатель:

$\log_{0,5} 10 - \log_{0,5} \sqrt{10} + \log_{0,5} 4 = \log_{0,5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0,5} 4 = \log_{0,5} (\sqrt{10} \cdot 4) = \log_{0,5} (4\sqrt{10})$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_{0,5} (4\sqrt{10})}{\log_{0,5} (4\sqrt{10})} = 1$.

Ответ: 1.

г) Воспользуемся свойствами логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ и $\log_a b^n = n\log_a b$.

Преобразуем знаменатель:

$\log_{0,3} 15 - \log_{0,3} 30 = \log_{0,3} \frac{15}{30} = \log_{0,3} \frac{1}{2}$.

Преобразуем числитель, выразив его через $\log_{0,3} \frac{1}{2}$:

$\log_{0,3} 16 = \log_{0,3} 2^4 = \log_{0,3} ((\frac{1}{2})^{-1})^4 = \log_{0,3} (\frac{1}{2})^{-4} = -4\log_{0,3} \frac{1}{2}$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{-4\log_{0,3} \frac{1}{2}}{\log_{0,3} \frac{1}{2}} = -4$.

Ответ: -4.