Номер 16.10, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.10, страница 96.

16.10. a) $\sqrt{5}(\log_{3} 36 - \log_{3} 4 + 5^{\log_{5} 8})^{0,5} \lg 5;$

б) $\frac{2}{11}(\log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 7^{\log_{7} 4})^{2} \log_{5} 11.$

а)

Найдем значение выражения $ \sqrt{5}(\log_3 36 - \log_3 4 + 5^{\log_5 8})^{0,5 \lg 5} $.
Решим по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала воспользуемся свойством разности логарифмов $ \log_a x - \log_a y = \log_a (x/y) $:
$ \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3(36/4) = \log_3 9 $.
Поскольку $ 3^2 = 9 $, то $ \log_3 9 = 2 $.

2. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, упростим слагаемое $ 5^{\log_5 8} $:
$ 5^{\log_5 8} = 8 $.

3. Теперь выражение в скобках равно: $ 2 + 8 = 10 $.

4. Исходное выражение преобразуется к виду: $ \sqrt{5}(10)^{0,5 \lg 5} $.

5. Упростим показатель степени $ 0,5 \lg 5 $. Учитывая, что $ \lg 5 = \log_{10} 5 $, и используя свойство $ k \log_a b = \log_a (b^k) $, получаем:
$ 0,5 \lg 5 = 0,5 \log_{10} 5 = \log_{10}(5^{0,5}) = \log_{10} \sqrt{5} $.

6. Подставим упрощенный показатель степени в наше выражение:
$ \sqrt{5} \cdot (10)^{\log_{10} \sqrt{5}} $.

7. Снова применим основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $:
$ 10^{\log_{10} \sqrt{5}} = \sqrt{5} $.

8. Наконец, вычислим произведение:
$ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $.

Ответ: 5

б)

Найдем значение выражения $ \frac{2}{11}(\log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 7^{\log_7 4})^2 \log_5 11 $.
Решим по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала воспользуемся свойством суммы логарифмов $ \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) $:
$ \log_{12} 3 + \log_{12} 4 = \log_{12}(3 \cdot 4) = \log_{12} 12 $.
По определению логарифма, $ \log_{12} 12 = 1 $.

2. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, упростим слагаемое $ 7^{\log_7 4} $:
$ 7^{\log_7 4} = 4 $.

3. Теперь выражение в скобках равно: $ 1 + 4 = 5 $.

4. Исходное выражение преобразуется к виду: $ \frac{2}{11}(5)^2 \log_5 11 $.

5. Возведем в квадрат число в скобках: $ 5^2 = 25 $.

6. Подставим полученное значение в выражение:
$ \frac{2}{11} \cdot 25 \cdot \log_5 11 $.

7. Перемножим числовые множители:
$ \frac{2 \cdot 25}{11} \log_5 11 = \frac{50}{11} \log_5 11 $.
Выражение не упрощается до рационального числа и представлено в своей окончательной точной форме.

Ответ: $ \frac{50}{11} \log_5 11 $