Страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

16.3. а) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9}$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7$;

в) $\log_2 15 - \log_2 30$;

г) $\log_{0,2} 40 - \log_{0,2} 8$.

а) Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием используется свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$. В данном примере основание $a=3$. Применим это свойство:
$\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left( 7 : \frac{7}{9} \right) = \log_3 \left( 7 \cdot \frac{9}{7} \right) = \log_3 9$.
По определению логарифма, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 9. Так как $3^2 = 9$, то значение логарифма равно 2.
Ответ: 2

б) Используем то же свойство разности логарифмов с основанием $a = \frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{28}{7} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Теперь найдем, в какую степень $x$ нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 4. Запишем уравнение: $(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части уравнения как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.
Уравнение примет вид: $(2^{-1})^x = 2^2$, что равносильно $2^{-x} = 2^2$.
Отсюда следует, что $-x = 2$, то есть $x = -2$.
Ответ: -2

в) Применим свойство разности логарифмов для основания $a=2$:
$\log_2 15 - \log_2 30 = \log_2 \left( \frac{15}{30} \right) = \log_2 \left( \frac{1}{2} \right)$.
По определению логарифма, ищем степень $x$, для которой $2^x = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2}$ можно записать как $2^{-1}$, то $2^x = 2^{-1}$, откуда $x = -1$.
Ответ: -1

г) Снова используем свойство разности логарифмов, где основание $a=0.2$:
$\log_{0.2} 40 - \log_{0.2} 8 = \log_{0.2} \left( \frac{40}{8} \right) = \log_{0.2} 5$.
Для вычисления представим основание $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Нам нужно найти степень $x$, такую что $(0.2)^x = 5$, или $(\frac{1}{5})^x = 5$.
Поскольку $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, уравнение можно переписать как $(5^{-1})^x = 5^1$, то есть $5^{-x} = 5^1$.
Отсюда $-x = 1$, или $x = -1$.
Ответ: -1

16.4. a) $\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3};$

б) $\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14;$

В) $\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243;$

Г) $\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03.$

а) Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \frac{6}{2\sqrt{3}}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
Таким образом, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$
Ответ: 1

б) Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14 = \log_{\sqrt{2}} \frac{7\sqrt{2}}{14}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$
Таким образом, получаем:
$\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{-1} = -1$
Ответ: -1

в) Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{32}{243}$
Представим числа 32 и 243 в виде степеней:
$32 = 2^5$
$243 = 3^5$
Тогда дробь можно записать так:
$\frac{32}{243} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5$
Таким образом, получаем:
$\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 5$
Ответ: 5

г) Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03 = \log_{0,1} \frac{0,003}{0,03}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{0,003}{0,03} = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1$
Таким образом, получаем:
$\log_{0,1} 0,1 = 1$
Ответ: 1

16.5. а) $\log_{\sqrt{2}} 2$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} ;$

в) $\log_{3\sqrt{2}} 18$;

г) $\lg \frac{1}{100\sqrt{10}}$.

a) Чтобы найти значение логарифма $ \log_{\sqrt{2}} 2 $, необходимо определить, в какую степень нужно возвести основание $ \sqrt{2} $, чтобы получить число 2. Обозначим искомое значение как $x$, тогда по определению логарифма $ (\sqrt{2})^x = 2 $.
Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае числа 2.
Основание: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.
Аргумент: $ 2 = 2^1 $.
Теперь наше уравнение выглядит так: $ (2^{1/2})^x = 2^1 $, что равносильно $ 2^{x/2} = 2^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ \frac{x}{2} = 1 $, откуда $ x = 2 $.
Другой способ — использовать свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $.
$ \log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 $.
Поскольку $ \log_2 2 = 1 $, то $ \frac{1}{1/2} \cdot 1 = 2 $.
Ответ: 2.

б) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} $ приведем основание и аргумент к одному основанию — числу 2.
Основание: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{2+1/2}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Теперь исходный логарифм можно переписать в виде:
$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} = \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} $.
Применим свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} = \frac{-5/2}{-1} \log_2 2 $.
Так как $ \log_2 2 = 1 $, получаем:
$ \frac{-5/2}{-1} = \frac{5}{2} = 2.5 $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.

в) Чтобы найти значение $ \log_{3\sqrt{2}} 18 $, нам нужно найти показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $ (3\sqrt{2})^x = 18 $.
Проверим, не является ли аргумент 18 некоторой простой степенью основания $ 3\sqrt{2} $. Возведем основание во вторую степень:
$ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $.
Мы получили число, стоящее под знаком логарифма.
Таким образом, $ (3\sqrt{2})^2 = 18 $, что по определению логарифма означает, что $ \log_{3\sqrt{2}} 18 = 2 $.
Ответ: 2.

г) Выражение $ \lg \frac{1}{100\sqrt{10}} $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
$ \lg \frac{1}{100\sqrt{10}} = \log_{10} \frac{1}{100\sqrt{10}} $.
Для вычисления представим аргумент логарифма как степень числа 10.
$ 100\sqrt{10} = 10^2 \cdot 10^{1/2} = 10^{2+1/2} = 10^{5/2} $.
Тогда дробь будет равна:
$ \frac{1}{100\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{5/2}} = 10^{-5/2} $.
Подставим это значение обратно в логарифм:
$ \log_{10} (10^{-5/2}) $.
Используя основное свойство логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем:
$ \log_{10} (10^{-5/2}) = -\frac{5}{2} = -2.5 $.
Ответ: $ -\frac{5}{2} $.

16.6. a) $(3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27);$

б) $(\log_3 2 + 3 \log_3 0.25) : (\log_3 28 - \log_3 7).$

а) $(3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27)$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $3 \lg 2 - \lg 24$.

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8$.

Теперь выражение в скобках принимает вид: $\lg 8 - \lg 24$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$:

$\lg 8 - \lg 24 = \lg(8/24) = \lg(1/3)$.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $\lg 3 + \lg 27$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$:

$\lg 3 + \lg 27 = \lg(3 \cdot 27) = \lg 81$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$\lg(1/3) : \lg 81$.

Воспользуемся свойствами логарифма еще раз, чтобы привести оба выражения к одному основанию логарифмируемого числа. $\lg(1/3) = \lg(3^{-1}) = -1 \cdot \lg 3 = -\lg 3$. $\lg 81 = \lg(3^4) = 4 \cdot \lg 3$.

Тогда деление принимает вид:

$\frac{-\lg 3}{4 \lg 3}$.

Сокращаем общий множитель $\lg 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-1}{4} = -0,25$.

Ответ: $-0,25$.

б) $(\log_3 2 + 3 \log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7)$

Для решения этого выражения также воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $\log_3 2 + 3 \log_3 0,25$.

Представим десятичную дробь $0,25$ в виде степени числа 2: $0,25 = 1/4 = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$.

Подставим это в выражение: $\log_3 2 + 3 \log_3(2^{-2})$.

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a^k = nk \log_b a$ для второго слагаемого:

$3 \log_3(2^{-2}) = 3 \cdot (-2) \log_3 2 = -6 \log_3 2$.

Теперь все выражение в первых скобках выглядит так:

$\log_3 2 - 6 \log_3 2 = (1-6) \log_3 2 = -5 \log_3 2$.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $\log_3 28 - \log_3 7$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$:

$\log_3 28 - \log_3 7 = \log_3(28/7) = \log_3 4$.

Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $\log_3 4 = \log_3(2^2) = 2 \log_3 2$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$(-5 \log_3 2) : (2 \log_3 2) = \frac{-5 \log_3 2}{2 \log_3 2}$.

Сокращаем общий множитель $\log_3 2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-5}{2} = -2,5$.

Ответ: $-2,5$.

16.7. a) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$;

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$;

в) $\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125$;

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1}$.

а) $log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot log_3 9 : log_4 \frac{1}{4}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя определение логарифма $log_a b = c$, что равносильно $a^c = b$.

Первый множитель: $log_{\frac{1}{2}} 4$. Чтобы найти его значение, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 4? Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$, получаем уравнение $(2^{-1})^x = 2^2$, или $2^{-x} = 2^2$. Отсюда $-x=2$, значит $x=-2$. Таким образом, $log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.

Второй множитель: $log_3 9$. Так как $3^2 = 9$, то $log_3 9 = 2$.

Делитель: $log_4 \frac{1}{4}$. Так как $4^{-1} = \frac{1}{4}$, то $log_4 \frac{1}{4} = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия: $(-2) \cdot 2 : (-1) = -4 : (-1) = 4$.

Ответ: 4

б) $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot log_5 \sqrt{5}$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

Первый член (делимое): $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3}$. Представим $3\sqrt{3}$ как степень основания $\sqrt{3}$. Так как $3 = (\sqrt{3})^2$, то $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}^1 = (\sqrt{3})^3$. Следовательно, $log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^3 = 3$.

Второй член (делитель): $log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49}$. Сначала упростим аргумент логарифма: $\sqrt{49}=7$. Получаем $log_{\frac{1}{7}} 7$. Чтобы найти его значение, решим уравнение $(\frac{1}{7})^x = 7$, или $(7^{-1})^x = 7^1$. Отсюда $-x=1$, и $x=-1$. Таким образом, $log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} = -1$.

Третий член (множитель): $log_5 \sqrt{5}$. Представим $\sqrt{5}$ как степень 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, $log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия по порядку (слева направо): $3 : (-1) \cdot \frac{1}{2} = -3 \cdot \frac{1}{2} = -1,5$.

Ответ: -1,5

в) $log_3 81 : log_{0,5} 2 \cdot log_5 125$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

Делимое: $log_3 81$. Так как $3^4 = 81$, то $log_3 81 = 4$.

Делитель: $log_{0,5} 2$. Представим основание $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$. Тогда $log_{\frac{1}{2}} 2$. Решим уравнение $(\frac{1}{2})^x = 2$, или $(2^{-1})^x = 2^1$. Отсюда $-x=1$, и $x=-1$. Таким образом, $log_{0,5} 2 = -1$.

Множитель: $log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $log_5 125 = 3$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия по порядку: $4 : (-1) \cdot 3 = -4 \cdot 3 = -12$.

Ответ: -12

г) $log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot log_{0,3} \sqrt{0,3} : lg(10\sqrt{0,1})$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности. Напомним, что $lg$ - это десятичный логарифм ($log_{10}$).

Первый множитель: $log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5}$. Представим $5\sqrt{5}$ как степень основания $\sqrt{5}$. Так как $5 = (\sqrt{5})^2$, то $5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^3$. Следовательно, $log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^3 = 3$.

Второй множитель: $log_{0,3} \sqrt{0,3}$. Представим $\sqrt{0,3}$ как степень 0,3: $\sqrt{0,3} = (0,3)^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, $log_{0,3} (0,3)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Делитель: $lg(10\sqrt{0,1})$. Упростим выражение под знаком логарифма: $10\sqrt{0,1} = 10\sqrt{\frac{1}{10}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{10}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^{1-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}}$. Тогда $lg(10\sqrt{0,1}) = lg(10^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение: $3 \cdot \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Ответ: 3

16.8. a) $\log_{\frac{1}{2}} 16 \cdot \log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} : 3^{\log_{3} 2};$

б) $\log_{3} 27 : \log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_{7} \sqrt[3]{49};$

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 \cdot \log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} : 7^{2 \log_{7} 2};$

г) $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}} \cdot \log_{0,3} \frac{1}{0,09} \cdot \lg 10\sqrt{0,1}.$

а) $\log_{\frac{1}{2}} 16 \cdot \log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} : 3^{\log_3 2}$
Для решения данного выражения вычислим значение каждого множителя и делителя по отдельности.
1. Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 16$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^c = c \log_a b$.
$\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = \frac{4}{-1} \log_2 2 = -4 \cdot 1 = -4$.
2. Вычислим $\log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25}$. Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
$\log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} = \log_{5} (5^{\frac{1}{3}}) - \log_{5} (5^2) = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
3. Вычислим $3^{\log_3 2}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^{\log_3 2} = 2$.
4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия:
$(-4) \cdot (-\frac{5}{3}) : 2 = \frac{20}{3} : 2 = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

б) $\log_{3} 27 : \log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_{7} \sqrt[3]{49}$
Вычислим значение каждого члена выражения последовательно.
1. $\log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3$.
2. $\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.
3. $\log_{7} \sqrt[3]{49} = \log_{7} (49^{\frac{1}{3}}) = \log_{7} ((7^2)^{\frac{1}{3}}) = \log_{7} 7^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$.
4. Подставим значения и выполним действия в порядке их следования (слева направо):
$3 : (-2) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1$.
Ответ: $-1$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 \cdot \log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} : 7^{2\log_7 2}$
Решим по частям.
1. $\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}} 3^2 = \frac{2}{-1} \log_3 3 = -2$.
2. $\log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} = \log_{2} (2^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (2^3) = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$.
3. $7^{2\log_7 2}$. Используем свойство степени логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.
4. Подставим полученные значения в выражение:
$(-2) \cdot (-\frac{8}{3}) : 4 = \frac{16}{3} : 4 = \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}} \cdot \log_{0,3} \frac{1}{0,09} \cdot \lg 10\sqrt{0,1}$
Вычислим каждый множитель.
1. $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}}$. Преобразуем аргумент логарифма: $216 = 6^3$, поэтому $\sqrt{216} = (6^3)^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}}$.
$\frac{1}{6\sqrt{216}} = \frac{1}{6^1 \cdot 6^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6^{1+\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6^{\frac{5}{2}}} = 6^{-\frac{5}{2}}$.
$\log_{6} 6^{-\frac{5}{2}} = -\frac{5}{2}$.
2. $\log_{0,3} \frac{1}{0,09}$. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.
$\log_{0,3} \frac{1}{(0,3)^2} = \log_{0,3} (0,3)^{-2} = -2$.
3. $\lg 10\sqrt{0,1}$. $\lg$ - это логарифм по основанию 10. $0,1 = 10^{-1}$.
$\lg(10 \cdot \sqrt{10^{-1}}) = \log_{10}(10^1 \cdot 10^{-\frac{1}{2}}) = \log_{10}(10^{1-\frac{1}{2}}) = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
4. Перемножим полученные результаты:
$(-\frac{5}{2}) \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: $2,5$.

16.9. a) $\frac{\log_7 25}{\log_7 5}$;

б) $\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27}$;

В) $\frac{\log_4 36}{\log_4 6}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64}$.

а) Для решения этого выражения используется формула перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. В данном случае $ c=7 $, $ a=25 $, и $ b=5 $. Применяя формулу, получаем: $ \frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 $. Чтобы найти значение логарифма, нужно определить, в какую степень нужно возвести основание 5, чтобы получить 25. Поскольку $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем ту же формулу перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. Здесь $ c = \frac{1}{2} $, $ a=9 $, и $ b=27 $. Следовательно: $ \frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27} = \log_{27} 9 $. Чтобы найти значение $ \log_{27} 9 $, представим 27 и 9 как степени числа 3: $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $. Пусть $ \log_{27} 9 = x $, тогда по определению логарифма $ 27^x = 9 $. Подставив степени тройки, получаем $ (3^3)^x = 3^2 $, что равносильно $ 3^{3x} = 3^2 $. Приравнивая показатели степени, имеем $ 3x = 2 $, откуда $ x = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

в) Снова применяем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $, где $ c=4 $, $ a=36 $, и $ b=6 $. Получаем: $ \frac{\log_4 36}{\log_4 6} = \log_6 36 $. Так как $ 6^2 = 36 $, то $ \log_6 36 = 2 $.
Ответ: 2

г) И снова воспользуемся формулой $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. В этом выражении $ c=0.3 $, $ a=32 $, и $ b=64 $. Применение формулы дает: $ \frac{\log_{0.3} 32}{\log_{0.3} 64} = \log_{64} 32 $. Чтобы найти значение $ \log_{64} 32 $, представим 64 и 32 как степени числа 2: $ 64 = 2^6 $ и $ 32 = 2^5 $. Пусть $ \log_{64} 32 = x $, тогда $ 64^x = 32 $. Подставив степени двойки, получаем $ (2^6)^x = 2^5 $, что равносильно $ 2^{6x} = 2^5 $. Приравнивая показатели степени, имеем $ 6x = 5 $, откуда $ x = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $

16.10. a) $\sqrt{5}(\log_{3} 36 - \log_{3} 4 + 5^{\log_{5} 8})^{0,5} \lg 5;$

б) $\frac{2}{11}(\log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 7^{\log_{7} 4})^{2} \log_{5} 11.$

а)

Найдем значение выражения $ \sqrt{5}(\log_3 36 - \log_3 4 + 5^{\log_5 8})^{0,5 \lg 5} $.
Решим по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала воспользуемся свойством разности логарифмов $ \log_a x - \log_a y = \log_a (x/y) $:
$ \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3(36/4) = \log_3 9 $.
Поскольку $ 3^2 = 9 $, то $ \log_3 9 = 2 $.

2. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, упростим слагаемое $ 5^{\log_5 8} $:
$ 5^{\log_5 8} = 8 $.

3. Теперь выражение в скобках равно: $ 2 + 8 = 10 $.

4. Исходное выражение преобразуется к виду: $ \sqrt{5}(10)^{0,5 \lg 5} $.

5. Упростим показатель степени $ 0,5 \lg 5 $. Учитывая, что $ \lg 5 = \log_{10} 5 $, и используя свойство $ k \log_a b = \log_a (b^k) $, получаем:
$ 0,5 \lg 5 = 0,5 \log_{10} 5 = \log_{10}(5^{0,5}) = \log_{10} \sqrt{5} $.

6. Подставим упрощенный показатель степени в наше выражение:
$ \sqrt{5} \cdot (10)^{\log_{10} \sqrt{5}} $.

7. Снова применим основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $:
$ 10^{\log_{10} \sqrt{5}} = \sqrt{5} $.

8. Наконец, вычислим произведение:
$ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $.

Ответ: 5

б)

Найдем значение выражения $ \frac{2}{11}(\log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 7^{\log_7 4})^2 \log_5 11 $.
Решим по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала воспользуемся свойством суммы логарифмов $ \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) $:
$ \log_{12} 3 + \log_{12} 4 = \log_{12}(3 \cdot 4) = \log_{12} 12 $.
По определению логарифма, $ \log_{12} 12 = 1 $.

2. Далее, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, упростим слагаемое $ 7^{\log_7 4} $:
$ 7^{\log_7 4} = 4 $.

3. Теперь выражение в скобках равно: $ 1 + 4 = 5 $.

4. Исходное выражение преобразуется к виду: $ \frac{2}{11}(5)^2 \log_5 11 $.

5. Возведем в квадрат число в скобках: $ 5^2 = 25 $.

6. Подставим полученное значение в выражение:
$ \frac{2}{11} \cdot 25 \cdot \log_5 11 $.

7. Перемножим числовые множители:
$ \frac{2 \cdot 25}{11} \log_5 11 = \frac{50}{11} \log_5 11 $.
Выражение не упрощается до рационального числа и представлено в своей окончательной точной форме.

Ответ: $ \frac{50}{11} \log_5 11 $