Страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

О16.31. Прологарифмируйте по основанию 5:

а) $125a^4 : b^4$;

б) $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}}$;

в) $\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3}$;

г) $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$.

а) Прологарифмируем выражение $125a^4 : b^4$ по основанию 5. Сначала представим выражение в виде дроби и применим свойства логарифмов: логарифм частного и логарифм произведения.
$\log_5 \left(\frac{125a^4}{b^4}\right) = \log_5(125a^4) - \log_5(b^4)$
$= \log_5(125) + \log_5(a^4) - \log_5(b^4)$
Далее используем свойство логарифма степени $\log_b(x^n) = n \log_b(x)$. Учтем, что $125 = 5^3$, поэтому $\log_5(125) = 3$.
$= 3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$
Ответ: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$

б) Прологарифмируем выражение $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}}$ по основанию 5. Сначала упростим его.
$\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}} = 625 \cdot (\sqrt{ab})^3 \cdot c^2 = 625 \cdot (ab)^{\frac{3}{2}} \cdot c^2 = 625 a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{3}{2}} c^2$
Теперь логарифмируем полученное выражение, используя свойство логарифма произведения.
$\log_5(625 a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{3}{2}} c^2) = \log_5(625) + \log_5(a^{\frac{3}{2}}) + \log_5(b^{\frac{3}{2}}) + \log_5(c^2)$
Так как $625 = 5^4$, то $\log_5(625) = 4$. Применяем свойство логарифма степени.
$= 4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) + 2\log_5(c)$
Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) + 2\log_5(c)$

в) Прологарифмируем выражение $\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3}$ по основанию 5. Преобразуем его, используя свойства степеней.
$\frac{25\sqrt{5a^6b^7}}{c^3} = \frac{5^2 \cdot (5a^6b^7)^{\frac{1}{2}}}{c^3} = \frac{5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{7 \cdot \frac{1}{2}}}{c^3} = \frac{5^{2+\frac{1}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3} = \frac{5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3}$
Логарифмируем по основанию 5.
$\log_5\left(\frac{5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}}{c^3}\right) = \log_5(5^{\frac{5}{2}} a^3 b^{\frac{7}{2}}) - \log_5(c^3)$
$= \log_5(5^{\frac{5}{2}}) + \log_5(a^3) + \log_5(b^{\frac{7}{2}}) - \log_5(c^3)$
Применяем свойство логарифма степени и учитываем, что $\log_5(5^x) = x$.
$= \frac{5}{2} + 3\log_5(a) + \frac{7}{2}\log_5(b) - 3\log_5(c)$
Ответ: $\frac{5}{2} + 3\log_5(a) + \frac{7}{2}\log_5(b) - 3\log_5(c)$

г) Прологарифмируем выражение $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$ по основанию 5. Сначала упростим его.
$\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3} = \left(\frac{a^6}{b^{\frac{2}{5}}}\right)^{-3} = \left(\frac{b^{\frac{2}{5}}}{a^6}\right)^{3} = \frac{(b^{\frac{2}{5}})^3}{(a^6)^3} = \frac{b^{\frac{6}{5}}}{a^{18}}$
Теперь найдем логарифм по основанию 5.
$\log_5\left(\frac{b^{\frac{6}{5}}}{a^{18}}\right) = \log_5(b^{\frac{6}{5}}) - \log_5(a^{18})$
Используя свойство логарифма степени, получаем:
$= \frac{6}{5}\log_5(b) - 18\log_5(a)$
Ответ: $\frac{6}{5}\log_5(b) - 18\log_5(a)$

16.32. Положительное число $b$ записано в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, где $1 < b_0 < 10$ и $n$ — целое число. Найдите десятичный логарифм числа $b$:

а) $b = 9 \cdot 10^2$;

б) $b = 9 \cdot 10^{-3}$;

в) $b = 9 \cdot 10^4$;

г) $b = 9 \cdot 10^{-5}$.

(Для справки: $\lg 9 \approx 0,95$.)

а) Чтобы найти десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^2$, воспользуемся свойствами логарифмов.
Свойство логарифма произведения: $\lg(x \cdot y) = \lg x + \lg y$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^2) = \lg 9 + \lg(10^2)$.
Свойство логарифма степени: $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$.
$\lg 9 + \lg(10^2) = \lg 9 + 2 \cdot \lg 10$.
По определению десятичного логарифма, $\lg 10 = 1$.
Следовательно, $\lg b = \lg 9 + 2$.
Используя данное в условии приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$, получаем:
$\lg b \approx 0,95 + 2 = 2,95$.
Ответ: 2,95.

б) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^{-3}$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^{-3}) = \lg 9 + \lg(10^{-3})$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + (-3) \cdot \lg 10 = \lg 9 - 3$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 - 3 = -2,05$.
Ответ: -2,05.

в) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^4$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^4) = \lg 9 + \lg(10^4)$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + 4 \cdot \lg 10 = \lg 9 + 4$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 + 4 = 4,95$.
Ответ: 4,95.

г) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^{-5}$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^{-5}) = \lg 9 + \lg(10^{-5})$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + (-5) \cdot \lg 10 = \lg 9 - 5$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 - 5 = -4,05$.
Ответ: -4,05.

16.33. Найдите десятичный логарифм числа:

а) $ \lg 50; $

б) $ \lg 0,005; $

в) $ \lg 5000; $

г) $ \lg 0,00005. $

(Для справки: $ \lg 5 \approx 0,7. $)

а) Чтобы найти десятичный логарифм числа 50, представим 50 в виде произведения $5 \cdot 10$.
Далее воспользуемся свойством логарифма произведения: $ \lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b $.
$ \lg 50 = \lg (5 \cdot 10) = \lg 5 + \lg 10 $.
Из условия известно, что $ \lg 5 \approx 0,7 $. Десятичный логарифм числа 10 равен 1, так как $ 10^1 = 10 $, то есть $ \lg 10 = 1 $.
Подставим известные значения в выражение:
$ \lg 50 \approx 0,7 + 1 = 1,7 $.
Ответ: $ \approx 1,7 $.

б) Чтобы найти десятичный логарифм числа 0,005, представим это число в виде произведения $5 \cdot 0,001$, что равно $5 \cdot 10^{-3}$.
Применим свойство логарифма произведения: $ \lg 0,005 = \lg (5 \cdot 10^{-3}) = \lg 5 + \lg 10^{-3} $.
Теперь используем свойство логарифма степени: $ \lg a^n = n \cdot \lg a $.
$ \lg 10^{-3} = -3 \cdot \lg 10 = -3 \cdot 1 = -3 $.
Подставим известные значения:
$ \lg 0,005 \approx 0,7 + (-3) = 0,7 - 3 = -2,3 $.
Ответ: $ \approx -2,3 $.

в) Чтобы найти десятичный логарифм числа 5000, представим 5000 в виде произведения $5 \cdot 1000$, что равно $5 \cdot 10^3$.
Используем свойство логарифма произведения: $ \lg 5000 = \lg (5 \cdot 10^3) = \lg 5 + \lg 10^3 $.
Согласно свойству логарифма степени: $ \lg 10^3 = 3 \cdot \lg 10 = 3 \cdot 1 = 3 $.
Подставим известные значения:
$ \lg 5000 \approx 0,7 + 3 = 3,7 $.
Ответ: $ \approx 3,7 $.

г) Чтобы найти десятичный логарифм числа 0,00005, представим это число в виде произведения $5 \cdot 0,00001$, что равно $5 \cdot 10^{-5}$.
Применим свойство логарифма произведения: $ \lg 0,00005 = \lg (5 \cdot 10^{-5}) = \lg 5 + \lg 10^{-5} $.
Используем свойство логарифма степени: $ \lg 10^{-5} = -5 \cdot \lg 10 = -5 \cdot 1 = -5 $.
Подставим известные значения:
$ \lg 0,00005 \approx 0,7 + (-5) = 0,7 - 5 = -4,3 $.
Ответ: $ \approx -4,3 $.

Решите уравнение:

16.34. a) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 4$

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

а) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном случае $x > 0$.

Для решения уравнения воспользуемся свойством логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, то есть $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\log_4 2 + \log_4 7 = \log_4 (2 \cdot 7) = \log_4 14$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_4 x = \log_4 14$.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то мы можем приравнять их аргументы:

$x = 14$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $14 > 0$, корень подходит.

Ответ: $14$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 4$

ОДЗ: $x > 0$.

Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{x}{7})$.

Теперь уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x}{7}) = \log_{\frac{1}{2}} 4$.

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{7} = 4$.

Отсюда находим $x$:

$x = 4 \cdot 7 = 28$.

Проверяем ОДЗ: $28 > 0$. Корень является решением уравнения.

Ответ: $28$.

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$ для правой части уравнения:

$\log_9 5 + \log_9 6 = \log_9 (5 \cdot 6) = \log_9 30$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_9 x = \log_9 30$.

Так как основания логарифмов одинаковы, их аргументы также должны быть равны:

$x = 30$.

Проверяем ОДЗ: $30 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $30$.

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ для левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9})$.

Уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9}) = \log_{\frac{1}{4}} 5$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны:

$\frac{x}{9} = 5$.

Находим $x$:

$x = 5 \cdot 9 = 45$.

Проверяем ОДЗ: $45 > 0$. Корень является решением.

Ответ: $45$.

16.35. a) $ \log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24; $

б) $ \log_{0,5} 3 + \log_{0,5} x = \log_{0,5} 12; $

в) $ \log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4. $

а) Исходное уравнение: $log_6 12 + log_6 x = log_6 24$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. В данном уравнении это $x > 0$.
Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$.
Применив это свойство к левой части уравнения, получим:
$log_6(12 \cdot x) = log_6 24$.
Поскольку основания логарифмов в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы (выражения под знаком логарифма):
$12x = 24$.
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{24}{12}$
$x = 2$.
Найденное значение $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).
Ответ: 2.

б) Исходное уравнение: $log_{0,5} 3 + log_{0,5} x = log_{0,5} 12$.
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:
$log_{0,5}(3 \cdot x) = log_{0,5} 12$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$3x = 12$.
Находим $x$:
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$.
Проверяем ОДЗ: $4 > 0$. Корень подходит.
Ответ: 4.

в) Исходное уравнение: $log_5 13 + log_5 x = log_5 39$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применяем свойство суммы логарифмов к левой части:
$log_5(13 \cdot x) = log_5 39$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$13x = 39$.
Решаем уравнение:
$x = \frac{39}{13}$
$x = 3$.
Проверяем ОДЗ: $3 > 0$. Корень подходит.
Ответ: 3.

г) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{3}} 8 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применяем свойство суммы логарифмов к левой части уравнения:
$log_{\frac{1}{3}}(8 \cdot x) = log_{\frac{1}{3}} 4$.
Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов одинаковы:
$8x = 4$.
Находим $x$:
$x = \frac{4}{8}$
$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$.
Проверяем ОДЗ: $\frac{1}{2} > 0$. Корень подходит.
Ответ: 0,5.

16.36. а) $log_2 3x = log_2 4 + log_2 6;$

б) $log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = log_{\sqrt{3}} 6 + log_{\sqrt{3}} 2;$

в) $log_4 5x = log_4 35 - log_4 7;$

г) $log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = log_{\sqrt{2}} 15 - log_{\sqrt{2}} 6.$

а) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$

Для решения данного логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $3x > 0$, что означает $x > 0$.

Теперь упростим правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_2 4 + \log_2 6 = \log_2 (4 \cdot 6) = \log_2 24$.

Уравнение принимает вид:

$\log_2 3x = \log_2 24$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$3x = 24$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{24}{3} = 8$.

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0$). Так как $8 > 0$, корень подходит.

Ответ: $8$.

б) $\log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$

ОДЗ: $\frac{x}{2} > 0$, откуда $x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов для правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2 = \log_{\sqrt{3}} (6 \cdot 2) = \log_{\sqrt{3}} 12$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = \log_{\sqrt{3}} 12$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x}{2} = 12$.

Находим $x$:

$x = 12 \cdot 2 = 24$.

Корень $x = 24$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $24$.

в) $\log_4 5x = \log_4 35 - \log_4 7$

ОДЗ: $5x > 0$, откуда $x > 0$.

Упростим правую часть, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_4 35 - \log_4 7 = \log_4 (\frac{35}{7}) = \log_4 5$.

Уравнение принимает вид:

$\log_4 5x = \log_4 5$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$5x = 5$.

Находим $x$:

$x = \frac{5}{5} = 1$.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1$.

г) $\log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = \log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6$

ОДЗ: $\frac{x}{3} > 0$, откуда $x > 0$.

Используем свойство разности логарифмов для правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6 = \log_{\sqrt{2}} (\frac{15}{6}) = \log_{\sqrt{2}} (\frac{5}{2})$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = \log_{\sqrt{2}} \frac{5}{2}$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x}{3} = \frac{5}{2}$.

Находим $x$:

$x = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5$.

Корень $x = 7.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $7.5$.