Страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

17.12. a) $log_2(2x^3 - x^2 - 2x) = log_2(x^3 + 2x^2 + 2x);$

б) $log_3(3x^3 - 2x^2 + 4x) = log_3(2x^3 + 2x^2 + 3x - 6);$

в) $log_{0,2}(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = log_{0,2}(-x^3 + 2x^2 + 3x);$

г) $log_{0,4}(2x^3 + x^2 - 5x - 7) = log_{0,4}(x^3 - 2x^2 - 2x + 7).$

а) $\log_2(2x^3 - x^2 - 2x) = \log_2(x^3 + 2x^2 + 2x)$
Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного приравниванием аргументов логарифмов, и неравенства, задающего область допустимых значений (ОДЗ). Достаточно потребовать, чтобы один из аргументов был строго больше нуля.
$\begin{cases} 2x^3 - x^2 - 2x = x^3 + 2x^2 + 2x \\ x^3 + 2x^2 + 2x > 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$2x^3 - x^2 - 2x - x^3 - 2x^2 - 2x = 0$
$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x - 4) = 0$
Получаем, что либо $x_1 = 0$, либо $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ и $x_{3} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.
Мы получили три потенциальных корня: $0, 4, -1$.
Теперь проверим эти корни, подставив их в неравенство ОДЗ: $x^3 + 2x^2 + 2x > 0$.
$x(x^2 + 2x + 2) > 0$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x > 0$.
Проверим найденные корни:
- $x = 0$: не удовлетворяет условию $x > 0$.
- $x = 4$: удовлетворяет условию $x > 0$.
- $x = -1$: не удовлетворяет условию $x > 0$.
Таким образом, подходит только один корень.
Ответ: $4$.

б) $\log_3(3x^3 - 2x^2 + 4x) = \log_3(2x^3 + 2x^2 + 3x - 6)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^3 - 2x^2 + 4x = 2x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \\ 3x^3 - 2x^2 + 4x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$3x^3 - 2x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x - 3x + 6 = 0$
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$
Найдем целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Подставим $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на двучлен $(x+1)$ и получим $x^2 - 5x + 6$.
Уравнение примет вид $(x+1)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
Корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ легко находятся по теореме Виета: $x_2=2, x_3=3$.
Потенциальные корни исходного уравнения: $-1, 2, 3$.
Проверим их по условию ОДЗ: $3x^3 - 2x^2 + 4x > 0$.
- При $x = -1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 4(-1) = -3 - 2 - 4 = -9$. Так как $-9 < 0$, корень не подходит.
- При $x = 2$: $3(2)^3 - 2(2)^2 + 4(2) = 24 - 8 + 8 = 24$. Так как $24 > 0$, корень подходит.
- При $x = 3$: $3(3)^3 - 2(3)^2 + 4(3) = 81 - 18 + 12 = 75$. Так как $75 > 0$, корень подходит.
Ответ: $2; 3$.

в) $\log_{0,2}(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = \log_{0,2}(-x^3 + 2x^2 + 3x)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^3 + 5x^2 + 6x + 1 = -x^3 + 2x^2 + 3x \\ -x^3 + 2x^2 + 3x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$
Найдем рациональные корни. Проверим $x = -1/2$:
$2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{2}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0$.
$x = -1/2$ является корнем. Разделим многочлен $2x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ на $(2x+1)$ и получим $x^2 + x + 1$.
Уравнение примет вид $(2x+1)(x^2 + x + 1) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней он не имеет.
Единственный потенциальный корень: $x = -1/2$.
Проверим его по условию ОДЗ: $-x^3 + 2x^2 + 3x > 0$.
При $x = -1/2$: $-(-1/2)^3 + 2(-1/2)^2 + 3(-1/2) = -(-1/8) + 2(1/4) - 3/2 = 1/8 + 1/2 - 3/2 = 1/8 - 1 = -7/8$.
Так как $-7/8 < 0$, корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: нет корней.

г) $\log_{0,4}(2x^3 + x^2 - 5x - 7) = \log_{0,4}(x^3 - 2x^2 - 2x + 7)$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x^3 + x^2 - 5x - 7 = x^3 - 2x^2 - 2x + 7 \\ x^3 - 2x^2 - 2x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$2x^3 - x^3 + x^2 + 2x^2 - 5x + 2x - 7 - 7 = 0$
$x^3 + 3x^2 - 3x - 14 = 0$
Найдем целые корни среди делителей числа 14: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Подставим $x = 2$: $2^3 + 3(2)^2 - 3(2) - 14 = 8 + 12 - 6 - 14 = 20 - 20 = 0$.
$x = 2$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 + 3x^2 - 3x - 14$ на $(x-2)$ и получим $x^2 + 5x + 7$.
Уравнение примет вид $(x-2)(x^2 + 5x + 7) = 0$.
Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 7$ равен $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 < 0$, действительных корней он не имеет.
Единственный потенциальный корень: $x = 2$.
Проверим его по условию ОДЗ: $x^3 - 2x^2 - 2x + 7 > 0$.
При $x = 2$: $2^3 - 2(2)^2 - 2(2) + 7 = 8 - 8 - 4 + 7 = 3$.
Так как $3 > 0$, корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

17.13. a) $\log_x (x + 3) = \log_x (2x + 9);$

б) $\log_x (x^2 - 2x) = \log_x (3x - 4);$

в) $\log_x (x - 1) = \log_x (2x - 8);$

г) $\log_x (x^2 - 6) = \log_x (-x).$

а) Решим уравнение $\log_x (x + 3) = \log_x (2x + 9)$.
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения и неравенств, определяющих область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x + 3 = 2x + 9 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \\ x + 3 > 0 \\ 2x + 9 > 0 \end{cases}$
Сначала найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > -3 \\ x > -4.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $(0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь решим уравнение:
$x + 3 = 2x + 9$
$2x - x = 3 - 9$
$x = -6$
Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -6$ области допустимых значений.
Условие $x > 0$ не выполняется, так как $-6 < 0$.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

б) Решим уравнение $\log_x (x^2 - 2x) = \log_x (3x - 4)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x^2 - 2x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1. $x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
2. $3x - 4 > 0 \implies 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3}$.
Найдем пересечение всех условий: $x > 0$, $x \neq 1$, $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ и $x > \frac{4}{3}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.
Теперь решим уравнение, приравняв выражения под логарифмами:
$x^2 - 2x = 3x - 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > 2$):
- $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому это посторонний корень.
- $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: 4.

в) Решим уравнение $\log_x (x - 1) = \log_x (2x - 8)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x - 1 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 1 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $(4; +\infty)$.
Решим уравнение:
$x - 1 = 2x - 8$
$2x - x = -1 + 8$
$x = 7$
Проверим, принадлежит ли корень $x = 7$ ОДЗ ($x > 4$).
$7 > 4$, условие выполняется.
Следовательно, $x = 7$ является решением уравнения.
Ответ: 7.

г) Решим уравнение $\log_x (x^2 - 6) = \log_x (-x)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), которая определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x^2 - 6 > 0 \\ -x > 0 \end{cases}$
Рассмотрим два неравенства из этой системы:
1. $x > 0$
2. $-x > 0 \implies x < 0$
Эти два условия противоречат друг другу: не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше нуля и меньше нуля.
Следовательно, область допустимых значений является пустым множеством.
Так как не существует значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл, оно не имеет решений.
Ответ: корней нет.

17.14. a) $\log_x(2x^2 + x - 2) = 3;$

б) $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3.$

а) $\log_x(2x^2 + x - 2) = 3$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, которая также включает область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 2x^2 + x - 2 = x^3 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Сначала решим уравнение $2x^2 + x - 2 = x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

Для решения сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$

Разложим $(x^2 - 1)$ на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

Получаем три возможных корня: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, поэтому он не является решением.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он не является решением.
• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет обоим условиям: $2 > 0$ и $2 \neq 1$. Также необходимо проверить, что при $x=2$ выражение под логарифмом положительно: $2(2^2) + 2 - 2 = 8 > 0$. Это условие выполняется.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2

б) $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3$

Данное уравнение равносильно системе, включающей ОДЗ:

$ \begin{cases} 12x - x^2 - 19 = (x-1)^3 \\ x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ 12x - x^2 - 19 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим условия ОДЗ:

1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$

2. $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$

3. $12x - x^2 - 19 > 0 \implies x^2 - 12x + 19 < 0$. Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 12x + 19 = 0$.
Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 144 - 76 = 68$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 6 \pm \sqrt{17}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 19$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (6 - \sqrt{17}, 6 + \sqrt{17})$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}, 2) \cup (2, 6 + \sqrt{17})$.

Теперь решим основное уравнение:

$12x - x^2 - 19 = (x-1)^3$

Раскроем куб разности в правой части:

$12x - x^2 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 3x^2 + x^2 + 3x - 12x - 1 + 19 = 0$

$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$

$(x^2 - 9)(x - 2) = 0$

$(x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0$

Возможные корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

Проверим соответствие корней найденной ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}, 2) \cup (2, 6 + \sqrt{17})$.

• Корень $x_1 = 3$. Оценим границы интервала: $4 < \sqrt{17} < 5$, значит $1 < 6-\sqrt{17} < 2$. Корень $3$ находится в интервале $(2, 6+\sqrt{17})$. Таким образом, $x=3$ является решением.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 1$.
• Корень $x_3 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 2$.

Единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

17.15. a) $ \log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5; $

В) $ \log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18; $

б) $ \log_7 4 = \log_7 x - \log_7 9; $

г) $ \log_{0,4} 9 - \log_{0,4} x = \log_{0,4} 3. $

а) Исходное уравнение: $log_2 x = log_2 3 + log_2 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго больше нуля, следовательно, $x > 0$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$.
Применим это свойство к правой части уравнения:
$log_2 3 + log_2 5 = log_2(3 \cdot 5) = log_2 15$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$log_2 x = log_2 15$.
Поскольку основания логарифмов в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x = 15$.
Найденное значение $x=15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 > 0$), значит, это и есть корень уравнения.
Ответ: $15$.

б) Исходное уравнение: $log_7 4 = log_7 x - log_7 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Для решения уравнения перенесем член $log_7 9$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$log_7 4 + log_7 9 = log_7 x$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ для левой части:
$log_7(4 \cdot 9) = log_7 x$.
$log_7 36 = log_7 x$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 36$.
Полученное значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).
Ответ: $36$.

в) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{3}} 4 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 18$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применим свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ к левой части уравнения:
$log_{\frac{1}{3}}(4 \cdot x) = log_{\frac{1}{3}} 18$.
$log_{\frac{1}{3}}(4x) = log_{\frac{1}{3}} 18$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x = 18$.
Находим $x$:
$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$.
Значение $x=4,5$ удовлетворяет ОДЗ ($4,5 > 0$).
Ответ: $4,5$.

г) Исходное уравнение: $log_{0,4} 9 - log_{0,4} x = log_{0,4} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Перегруппируем уравнение, чтобы выразить $log_{0,4} x$:
$log_{0,4} 9 - log_{0,4} 3 = log_{0,4} x$.
Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$.
Применим это свойство к левой части:
$log_{0,4}(\frac{9}{3}) = log_{0,4} x$.
$log_{0,4} 3 = log_{0,4} x$.
Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 3$.
Найденное значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).
Ответ: $3$.

17.16. a) $2 \log_8 x = \log_8 2,5 + \log_8 10;$

б) $3 \log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x;$

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3;$

г) $4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8.$

а) Исходное уравнение: $2 \log_8 x = \log_8 2,5 + \log_8 10$.
Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Далее, преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов.
Для левой части используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_8 x = \log_8 x^2$.
Для правой части используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_8 2,5 + \log_8 10 = \log_8 (2,5 \cdot 10) = \log_8 25$.
Теперь уравнение принимает вид:
$\log_8 x^2 = \log_8 25$.
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 = 25$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -5$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5.

б) Исходное уравнение: $3 \log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть уравнения. Применим свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ к первому слагаемому:
$3 \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 ((\frac{1}{2})^3) = \log_2 \frac{1}{8}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\log_2 \frac{1}{8} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$.
Далее используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_2 (\frac{1/8}{1/32}) = \log_2 x$.
Упростим выражение под знаком логарифма в левой части:
$\frac{1/8}{1/32} = \frac{1}{8} \cdot 32 = \frac{32}{8} = 4$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 4 = \log_2 x$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = 4$.
Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 4.

в) Исходное уравнение: $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть, используя свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} x^3$.
Преобразуем правую часть, используя свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3 = \log_{\frac{1}{7}} (9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Получаем уравнение:
$\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Приравниваем аргументы:
$x^3 = 27$.
Извлекаем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{27} = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 3.

г) Исходное уравнение: $4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем левую часть по свойству степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} x^4$.
Преобразуем правую часть по свойству суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8 = \log_{0,1} (2 \cdot 8) = \log_{0,1} 16$.
Уравнение принимает вид:
$\log_{0,1} x^4 = \log_{0,1} 16$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^4 = 16$.
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -2$ не подходит. Корень $x = 2$ подходит.
Ответ: 2.

17.17. а) $\log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3(2x - 1)$;

б) $\log_{11}(x + 4) + \log_{11}(x - 7) = \log_{11}(7 - x)$;

в) $\log_{0.6}(x + 3) + \log_{0.6}(x - 3) = \log_{0.6}(2x - 1)$;

г) $\log_{0.4}(x + 2) + \log_{0.4}(x + 3) = \log_{0.4}(-2x)$;

а) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 2) = \log_3 (2x - 1)$
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > 0.5 \end{cases}$
Общим решением системы неравенств является $x > 2$.
Используем свойство логарифма: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.
$\log_3 ((x - 2)(x + 2)) = \log_3 (2x - 1)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)(x + 2) = 2x - 1$
$x^2 - 4 = 2x - 1$
Переносим все члены в левую часть и приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1$ не больше $2$. Это посторонний корень.
Таким образом, единственным решением является $x=3$.
Ответ: 3

б) $\log_{11} (x + 4) + \log_{11} (x - 7) = \log_{11} (7 - x)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4 \\ x > 7 \\ x < 7 \end{cases}$
Система неравенств $x > 7$ и $x < 7$ не имеет решений. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

в) $\log_{0,6} (x + 3) + \log_{0,6} (x - 3) = \log_{0,6} (2x - 1)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \\ x > 0.5 \end{cases}$
Общим решением системы является $x > 3$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,6} ((x + 3)(x - 3)) = \log_{0,6} (2x - 1)$
Приравниваем аргументы:
$(x + 3)(x - 3) = 2x - 1$
$x^2 - 9 = 2x - 1$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение равно -8. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2$ не больше $3$. Это посторонний корень.
Единственное решение — $x=4$.
Ответ: 4

г) $\log_{0,4} (x + 2) + \log_{0,4} (x + 3) = \log_{0,4} (-2x)$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ -2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$
Общим решением системы является интервал $-2 < x < 0$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,4} ((x + 2)(x + 3)) = \log_{0,4} (-2x)$
Приравниваем аргументы:
$(x + 2)(x + 3) = -2x$
$x^2 + 3x + 2x + 6 = -2x$
$x^2 + 5x + 6 = -2x$
$x^2 + 7x + 6 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна -7, произведение равно 6. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$.
Либо через дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 \pm 5}{2}$
$x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($-2 < x < 0$):
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-2 < -1 < 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию, так как $-6$ не принадлежит интервалу $(-2; 0)$. Это посторонний корень.
Единственное решение — $x=-1$.
Ответ: -1