Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.5. a) $ \log_{0,1} (x^2 + 4x - 20) = 0; $

б) $ \log_{\frac{1}{7}} (x^2 + x - 5) = -1; $

в) $ \log_{7} (x^2 - 12x + 36) = 0; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} (x^2 + 3x - 1) = -2. $

а) $log_{0,1}(x^2 + 4x - 20) = 0$

Данное логарифмическое уравнение решается по определению логарифма: $log_a(b) = c$ равносильно $b = a^c$. При этом должно выполняться условие $b > 0$.

Применяя определение, получаем:

$x^2 + 4x - 20 = 0,1^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому:

$x^2 + 4x - 20 = 1$

Переносим 1 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -21$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Проверка области допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть больше нуля, т.е. $x^2 + 4x - 20 > 0$. В нашем случае, мы приравняли аргумент к $0,1^0 = 1$, а $1 > 0$, так что ОДЗ выполняется для найденных корней.

Ответ: $-7; 3$.

б) $log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1$

Используем определение логарифма:

$x^2 + x - 5 = (\frac{1}{7})^{-1}$

Вычисляем значение степени в правой части:

$(\frac{1}{7})^{-1} = 7$

Подставляем это значение в уравнение:

$x^2 + x - 5 = 7$

Переносим 7 влево:

$x^2 + x - 12 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

ОДЗ: $x^2 + x - 5 > 0$. Поскольку $x^2 + x - 5 = 7$, а $7 > 0$, условие выполняется.

Ответ: $-4; 3$.

в) $log_7(x^2 - 12x + 36) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 12x + 36 = 7^0$

$x^2 - 12x + 36 = 1$

Переносим 1 влево:

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 35$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

ОДЗ: $x^2 - 12x + 36 > 0$. Выражение в левой части можно свернуть в полный квадрат: $(x-6)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=6$. Найденные корни $5$ и $7$ не равны $6$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; 7$.

г) $log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2$

По определению логарифма:

$x^2 + 3x - 1 = (\frac{1}{3})^{-2}$

Вычисляем степень:

$(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$

Получаем уравнение:

$x^2 + 3x - 1 = 9$

Переносим 9 влево:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 > 0$. В ходе решения мы выяснили, что $x^2 + 3x - 1 = 9$, а $9 > 0$, значит ОДЗ выполняется.

Ответ: $-5; 2$.

17.6. a) $\log_2 (3x - 6) = \log_2 (2x - 3);$

б) $\log_6 (14 + 4x) = \log_6 (2x + 2);$

в) $\log_{\frac{1}{6}} (7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}} x;$

г) $\log_{0,2} (12x + 8) = \log_{0,2} (11x + 7).$

а) Дано логарифмическое уравнение $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3)$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. Однако сначала необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), при которых аргументы логарифмов положительны.
Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Решим ее:
$\begin{cases} 3x > 6 \\ 2x > 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2 \\ x > 1.5 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.
Теперь решим само уравнение:
$3x - 6 = 2x - 3$
$3x - 2x = 6 - 3$
$x = 3$
Найденное значение $x = 3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($3 > 2$), следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: 3.

б) Дано логарифмическое уравнение $\log_6(14 + 4x) = \log_6(2x + 2)$.
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} 14 + 4x > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -14 \\ 2x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -3.5 \\ x > -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -1$. ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.
Приравняем аргументы логарифмов:
$14 + 4x = 2x + 2$
$4x - 2x = 2 - 14$
$2x = -12$
$x = -6$
Полученное значение $x = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < -1$. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

в) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}}x$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 7x - 9 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 7x > 9 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{9}{7} \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением является $x > \frac{9}{7}$. ОДЗ: $x \in (\frac{9}{7}; +\infty)$.
Решим уравнение:
$7x - 9 = x$
$6x = 9$
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $1.5 = \frac{3}{2} = \frac{21}{14}$ и $\frac{9}{7} = \frac{18}{14}$, то $1.5 > \frac{9}{7}$. Корень $x=1.5$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: 1,5.

г) Дано логарифмическое уравнение $\log_{0.2}(12x + 8) = \log_{0.2}(11x + 7)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 12x + 8 > 0 \\ 11x + 7 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 12x > -8 \\ 11x > -7 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{8}{12} \\ x > -\frac{7}{11} \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{2}{3} \\ x > -\frac{7}{11} \end{cases}$
Чтобы сравнить дроби $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{7}{11}$, приведем их к общему знаменателю: $-\frac{2}{3} = -\frac{22}{33}$ и $-\frac{7}{11} = -\frac{21}{33}$. Так как $-\frac{22}{33} < -\frac{21}{33}$, то более строгим является неравенство $x > -\frac{7}{11}$.
ОДЗ: $x \in (-\frac{7}{11}; +\infty)$.
Решим уравнение:
$12x + 8 = 11x + 7$
$12x - 11x = 7 - 8$
$x = -1$
Проверим корень. Так как $-1 < -\frac{7}{11}$, значение $x = -1$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

17.7. a) $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}} 50x;$

б) $\log_{0.3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0.3}(10x - 7);$

в) $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x);$

г) $\log_{0.2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0.2}(-x - 31).$

а) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}}50x$.
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять выражения под знаком логарифма. Это преобразование является равносильным при условии, что выражения под знаком логарифма положительны. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
$7x^2 - 200 = 50x$
ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} 7x^2 - 200 > 0 \\ 50x > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $50x > 0$ сразу получаем $x > 0$. Это упрощает проверку корней.
Теперь решим полученное квадратное уравнение:
$7x^2 - 50x - 200 = 0$
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-200) = 2500 + 5600 = 8100$.
$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 90}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $10 > 0$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $7(10)^2 - 200 = 700 - 200 = 500 > 0$. Следовательно, $x = 10$ является решением.
Корень $x_2 = -\frac{20}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Ответ: $10$.

б) Исходное уравнение: $\log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0,3}(10x - 7)$.
Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$-x^2 + 5x + 7 = 10x - 7$
ОДЗ: $\begin{cases} -x^2 + 5x + 7 > 0 \\ 10x - 7 > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $10x - 7 > 0$ получаем $10x > 7$, то есть $x > 0.7$.
Решаем уравнение:
$-x^2 + 5x + 7 - 10x + 7 = 0$
$-x^2 - 5x + 14 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 + 5x - 14 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
$\sqrt{D} = 9$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 0.7$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 0.7$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $-(2)^2 + 5(2) + 7 = -4 + 10 + 7 = 13 > 0$. Значит, $x = 2$ является решением.
Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 > 0.7$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $2$.

в) Исходное уравнение: $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x)$.
$\lg$ — это десятичный логарифм ($\log_{10}$). Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$x^2 - 8 = 2 - 9x$
ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 8 > 0 \\ 2 - 9x > 0 \end{cases}$
Из второго неравенства $2 - 9x > 0$ получаем $2 > 9x$, то есть $x < \frac{2}{9}$.
Решаем уравнение:
$x^2 + 9x - 8 - 2 = 0$
$x^2 + 9x - 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $-10$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x < \frac{2}{9}$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 < \frac{2}{9}$, так как $\frac{2}{9} \approx 0.22$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -10$ удовлетворяет условию $-10 < \frac{2}{9}$. Проверим его для первого неравенства ОДЗ: $(-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 > 0$. Значит, $x = -10$ является решением.
Ответ: $-10$.

г) Исходное уравнение: $\log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0,2}(-x - 31)$.
Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$-x^2 + 4x + 5 = -x - 31$
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} -x^2 + 4x + 5 > 0 \\ -x - 31 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $-x^2 + 4x + 5 > 0$. Для этого найдем корни уравнения $-x^2 + 4x + 5 = 0$, или $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=5, x_2=-1$. Так как это парабола с ветвями вниз, неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.
Решим второе неравенство: $-x - 31 > 0 \implies -x > 31 \implies x < -31$.
Теперь найдем общее решение для системы ОДЗ:
$\begin{cases} -1 < x < 5 \\ x < -31 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно в интервале $(-1; 5)$ и меньше $-31$. Область допустимых значений пуста. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Можно также сначала решить уравнение, а потом проверить корни.
$-x^2 + 4x + 5 = -x - 31$
$-x^2 + 5x + 36 = 0$
$x^2 - 5x - 36 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1=9$ и $x_2=-4$.
Проверим их по ОДЗ, например, по условию $x < -31$.
$x_1=9$ не удовлетворяет условию $9 < -31$.
$x_2=-4$ не удовлетворяет условию $-4 < -31$.
Оба корня являются посторонними.
Ответ: корней нет.

17.8. a) $2^{\log_2 (x^2 - 4)} = 21;$

Б) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 9x + 21)} = 1;$

В) $9^{\log_9 (x^2 - 5)} = 31;$

Г) $(0,3)^{\log_{0,3} (x^2 + x - 4)} = 2.$

а) $2^{\log_2(x^2 - 4)} = 21$

Это уравнение решается с использованием основного логарифмического тождества: $a^{\log_a(b)} = b$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 4 > 0$

$x^2 > 4$

Это неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Теперь применим основное логарифмическое тождество к левой части уравнения:

$2^{\log_2(x^2 - 4)} = x^2 - 4$

Получаем простое квадратное уравнение:

$x^2 - 4 = 21$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x < -2$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-5; 5$.

б) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 9x + 21)} = 1$

Используем то же основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x^2 - 9x + 21 > 0$

Для анализа этого квадратного трехчлена найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 81 - 84 = -3$

Поскольку старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($1>0$), а дискриминант отрицателен ($D<0$), парабола $y = x^2 - 9x + 21$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 9x + 21$ положительно при любых действительных значениях $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \infty)$.

Применяем тождество к исходному уравнению:

$x^2 - 9x + 21 = 1$

Переносим 1 в левую часть и решаем квадратное уравнение:

$x^2 - 9x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 5$

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $4; 5$.

в) $9^{\log_9(x^2 - 5)} = 31$

Снова используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.

$x^2 - 5 > 0$

$x^2 > 5$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$.

Применяя тождество, получаем уравнение:

$x^2 - 5 = 31$

$x^2 = 36$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Проверяем корни по ОДЗ.

Так как $36 > 5$, то $6 > \sqrt{5}$, следовательно, $x_1 = 6$ подходит.

Так как $36 > 5$, то $-6 < -\sqrt{5}$, следовательно, $x_2 = -6$ подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; 6$.

г) $(0,3)^{\log_{0,3}(x^2 + x - 4)} = 2$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

ОДЗ: $x^2 + x - 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 4 = 0$, чтобы определить интервалы, где неравенство выполняется.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 4 > 0$ выполняется при $x$ за пределами корней. ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \infty)$.

Упрощаем исходное уравнение с помощью тождества:

$x^2 + x - 4 = 2$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 2$: нужно проверить, верно ли $2 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 > -1 + \sqrt{17}$, что эквивалентно $5 > \sqrt{17}$. Так как $25 > 17$, неравенство верно. Корень $x_1 = 2$ подходит.

Для $x_2 = -3$: нужно проверить, верно ли $-3 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$. Умножим обе части на 2: $-6 < -1 - \sqrt{17}$, что эквивалентно $\sqrt{17} < 5$. Это верно. Корень $x_2 = -3$ подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 2$.

17.9. a) $3^{\log_4(-5x)} = \log_5 125$;

б) $2^{\log_3(2x+8)} = \log_{\sqrt{3}} 9$;

В) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{0.5}(9x-10)} = \log_9 729$;

Г) $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = \log_2 0.5$.

а) $3^{\log_4(-5x)} = \log_5 125$

Сначала найдем значение выражения в правой части уравнения. По определению логарифма, $\log_5 125$ - это степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 125. Так как $5^3 = 125$, то $\log_5 125 = 3$.

Теперь уравнение принимает вид:

$3^{\log_4(-5x)} = 3$

Поскольку основания степеней ($3$) равны, мы можем приравнять их показатели:

$\log_4(-5x) = 1$

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$-5x > 0$

$x < 0$

Теперь решим логарифмическое уравнение, используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$-5x = 4^1$

$-5x = 4$

$x = -4/5 = -0.8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x < 0$ выполняется, так как $-0.8 < 0$.

Ответ: $-0.8$

б) $2^{\log_3(2x+8)} = \log_{\sqrt{3}} 9$

Вычислим значение в правой части уравнения. Пусть $\log_{\sqrt{3}} 9 = y$. Тогда $(\sqrt{3})^y = 9$. Представим обе части как степени числа 3: $(3^{1/2})^y = 3^2$, что равносильно $3^{y/2} = 3^2$. Отсюда $y/2 = 2$, и $y=4$. Таким образом, $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^{\log_3(2x+8)} = 4$

Представим правую часть как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^{\log_3(2x+8)} = 2^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_3(2x+8) = 2$

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным:

$2x+8 > 0$

$2x > -8$

$x > -4$

Решаем уравнение по определению логарифма:

$2x+8 = 3^2$

$2x+8 = 9$

$2x = 1$

$x = 1/2 = 0.5$

Проверяем корень по ОДЗ: $0.5 > -4$. Условие выполняется.

Ответ: $0.5$

в) $(\frac{1}{3})^{\log_{0.5}(9x-10)} = \log_9 729$

Вычислим правую часть уравнения. Так как $9^3 = 729$, то $\log_9 729 = 3$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{\log_{0.5}(9x-10)} = 3$

Представим основание степени в левой части как $3^{-1}$:

$(3^{-1})^{\log_{0.5}(9x-10)} = 3^1$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$3^{-\log_{0.5}(9x-10)} = 3^1$

Приравниваем показатели степеней:

$-\log_{0.5}(9x-10) = 1$

$\log_{0.5}(9x-10) = -1$

ОДЗ: $9x-10 > 0$, откуда $9x > 10$, то есть $x > 10/9$.

Решаем уравнение по определению логарифма, учитывая, что $0.5 = 1/2$:

$9x-10 = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

$9x-10 = 2$

$9x = 12$

$x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Проверяем корень по ОДЗ. Нам нужно сравнить $\frac{4}{3}$ и $\frac{10}{9}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$. Так как $\frac{12}{9} > \frac{10}{9}$, условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $\frac{4}{3}$

г) $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = \log_2 0.5$

Вычислим правую часть уравнения. Так как $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, то $\log_2 0.5 = \log_2 2^{-1} = -1$.

Уравнение принимает вид:

$(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)} = -1$

Рассмотрим левую часть уравнения. Она представляет собой степень с положительным основанием $0.2$. По свойству показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \ne 1$), ее значение всегда положительно, то есть $a^x > 0$ для любого действительного $x$.

Таким образом, левая часть уравнения $(0.2)^{\log_{0.7}(-3x+1)}$ всегда больше нуля для всех $x$ из области допустимых значений.

Правая часть уравнения равна $-1$.

Поскольку положительное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

17.10. a) $\log_7 (\log_3 (\log_2 x)) = 0;$

б) $\log_{18} (\log_2 (\log_3 4x)) = 0;$

в) $\log_{25} (\log_3 (\log_2 x)) = 0;$

г) $\log_{12} (\log_4 (\log_3 (x + 1))) = 0.$

а)

Дано уравнение: $\log_7(\log_3(\log_2 x)) = 0$.

Для решения этого уравнения будем последовательно избавляться от логарифмов, начиная с внешнего. Используем определение логарифма: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. В частном случае, когда логарифм равен нулю ($\log_a b = 0$), его аргумент $b$ равен единице ($b = a^0 = 1$).

1. Применим это свойство к внешнему логарифму с основанием 7:

$\log_3(\log_2 x) = 7^0 = 1$

2. Теперь у нас есть уравнение $\log_3(\log_2 x) = 1$. Снова применяем определение логарифма:

$\log_2 x = 3^1 = 3$

3. Осталось решить простейшее логарифмическое уравнение $\log_2 x = 3$:

$x = 2^3 = 8$

Проверим найденный корень на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов в исходном уравнении должны быть положительными:

1. $x > 0 \implies 8 > 0$ (верно).

2. $\log_2 x > 0 \implies \log_2 8 = 3 > 0$ (верно).

3. $\log_3(\log_2 x) > 0 \implies \log_3(3) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $8$

б)

Дано уравнение: $\log_{18}(\log_2(\log_3 4x)) = 0$.

Решаем по аналогии с предыдущим пунктом, последовательно "разворачивая" логарифмы.

1. Из того, что внешний логарифм равен нулю, следует, что его аргумент равен 1:

$\log_2(\log_3 4x) = 18^0 = 1$

2. Решаем уравнение $\log_2(\log_3 4x) = 1$:

$\log_3 4x = 2^1 = 2$

3. Решаем уравнение $\log_3 4x = 2$:

$4x = 3^2 = 9$

$x = \frac{9}{4}$

Проверим ОДЗ:

1. $4x > 0 \implies x > 0$. Наше решение $x = 9/4$ удовлетворяет этому условию: $9/4 > 0$ (верно).

2. $\log_3 4x > 0 \implies \log_3(4 \cdot \frac{9}{4}) = \log_3 9 = 2 > 0$ (верно).

3. $\log_2(\log_3 4x) > 0 \implies \log_2(2) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $\frac{9}{4}$

в)

Дано уравнение: $\log_{25}(\log_3(\log_2 x)) = 0$.

Структура этого уравнения идентична уравнению в пункте а), отличается только основание внешнего логарифма.

1. Так как $\log_{25}(\dots) = 0$, то аргумент равен 1:

$\log_3(\log_2 x) = 25^0 = 1$

2. Решаем уравнение $\log_3(\log_2 x) = 1$:

$\log_2 x = 3^1 = 3$

3. Решаем уравнение $\log_2 x = 3$:

$x = 2^3 = 8$

Проверка ОДЗ полностью совпадает с проверкой в пункте а), где было показано, что $x=8$ является допустимым корнем.

Ответ: $8$

г)

Дано уравнение: $\log_{12}(\log_4(\log_3 (x + 1))) = 0$.

Действуем по той же схеме.

1. Приравниваем аргумент внешнего логарифма к единице:

$\log_4(\log_3 (x + 1)) = 12^0 = 1$

2. Решаем полученное уравнение $\log_4(\dots) = 1$:

$\log_3 (x + 1) = 4^1 = 4$

3. Решаем уравнение $\log_3 (x + 1) = 4$:

$x + 1 = 3^4 = 81$

$x = 80$

Проверим ОДЗ:

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$. Наше решение $x = 80$ удовлетворяет этому условию: $80 > -1$ (верно).

2. $\log_3(x + 1) > 0 \implies \log_3(80 + 1) = \log_3 81 = 4 > 0$ (верно).

3. $\log_4(\log_3(x + 1)) > 0 \implies \log_4(4) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $80$

17.11. а) Известно, что $f(x) = \log_3(5x - 2)$. Решите уравнение $f(x) = f(3x - 1)$.

б) Известно, что $f(x) = \log_2(8x - 1)$. Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{x}{2} + 5\right)$.

в) Известно, что $f(x) = \log_{0,2}(3x - 6)$. Решите уравнение $f\left(\frac{1}{3}x - 1\right) = f(x^2 - 1)$.

г) Известно, что $f(x) = \log_{1,4}(4x + 1)$. Решите уравнение $f\left(\frac{1}{4}x - 3\right) = f(x^2 - 3)$.

а)

Дана функция $f(x) = \log_3(5x - 2)$. Нужно решить уравнение $f(x) = f(3x - 1)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(x) = \log_3(5x - 2)$

$f(3x - 1) = \log_3(5(3x - 1) - 2) = \log_3(15x - 5 - 2) = \log_3(15x - 7)$

Получаем уравнение: $\log_3(5x - 2) = \log_3(15x - 7)$.

Логарифмическая функция является монотонной, поэтому если равны значения функции, то равны и ее аргументы. Перед решением найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5x - 2 > 0 \\ 15x - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x > 2 \\ 15x > 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x > \frac{7}{15} \end{cases}$

Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{7}{15}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Так как $\frac{7}{15} > \frac{6}{15}$, то ОДЗ: $x > \frac{7}{15}$.

Теперь решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:

$5x - 2 = 15x - 7$

$15x - 5x = 7 - 2$

$10x = 5$

$x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Нам нужно, чтобы $x > \frac{7}{15}$.

Сравним $\frac{1}{2}$ и $\frac{7}{15}$. $\frac{1}{2} = \frac{7.5}{15}$. Так как $\frac{7.5}{15} > \frac{7}{15}$, корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Дана функция $f(x) = \log_2(8x - 1)$. Нужно решить уравнение $f(x) = f(\frac{x}{2} + 5)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(x) = \log_2(8x - 1)$

$f(\frac{x}{2} + 5) = \log_2(8(\frac{x}{2} + 5) - 1) = \log_2(4x + 40 - 1) = \log_2(4x + 39)$

Получаем уравнение: $\log_2(8x - 1) = \log_2(4x + 39)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 8x - 1 > 0 \\ 4x + 39 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 1 \\ 4x > -39 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{8} \\ x > -\frac{39}{4} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{8}$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$8x - 1 = 4x + 39$

$8x - 4x = 39 + 1$

$4x = 40$

$x = 10$

Проверим корень по ОДЗ: $10 > \frac{1}{8}$. Условие выполняется.

Ответ: $10$

в)

Дана функция $f(x) = \log_{0.2}(3x - 6)$. Нужно решить уравнение $f(\frac{1}{3}x - 1) = f(x^2 - 1)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(\frac{1}{3}x - 1) = \log_{0.2}(3(\frac{1}{3}x - 1) - 6) = \log_{0.2}(x - 3 - 6) = \log_{0.2}(x - 9)$

$f(x^2 - 1) = \log_{0.2}(3(x^2 - 1) - 6) = \log_{0.2}(3x^2 - 3 - 6) = \log_{0.2}(3x^2 - 9)$

Получаем уравнение: $\log_{0.2}(x - 9) = \log_{0.2}(3x^2 - 9)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 9 > 0 \\ 3x^2 - 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ 3x^2 > 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x^2 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$x - 9 = 3x^2 - 9$

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $3x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{3}$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 9$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 9$.

$x_2 = \frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{3} > 9$.

Ни один из найденных корней не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет корней)

г)

Дана функция $f(x) = \log_{1.4}(4x + 1)$. Нужно решить уравнение $f(\frac{1}{4}x - 3) = f(x^2 - 3)$.

Подставим выражения в функцию:

$f(\frac{1}{4}x - 3) = \log_{1.4}(4(\frac{1}{4}x - 3) + 1) = \log_{1.4}(x - 12 + 1) = \log_{1.4}(x - 11)$

$f(x^2 - 3) = \log_{1.4}(4(x^2 - 3) + 1) = \log_{1.4}(4x^2 - 12 + 1) = \log_{1.4}(4x^2 - 11)$

Получаем уравнение: $\log_{1.4}(x - 11) = \log_{1.4}(4x^2 - 11)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 11 > 0 \\ 4x^2 - 11 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ 4x^2 > 11 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ x^2 > \frac{11}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 11 \\ x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{11}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{11}}{2}; +\infty) \end{cases}$

Так как $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx \frac{3.32}{2} = 1.66$, то условие $x > 11$ является более строгим. ОДЗ: $x > 11$.

Решим уравнение, приравняв аргументы:

$x - 11 = 4x^2 - 11$

$4x^2 - x = 0$

$x(4x - 1) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $4x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{4}$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > 11$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 11$.

$x_2 = \frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{4} > 11$.

Ни один из найденных корней не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет корней)