Номер 17.8, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.8, страница 105.

17.8. a) $2^{\log_2 (x^2 - 4)} = 21;$

Б) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 9x + 21)} = 1;$

В) $9^{\log_9 (x^2 - 5)} = 31;$

Г) $(0,3)^{\log_{0,3} (x^2 + x - 4)} = 2.$

а) $2^{\log_2(x^2 - 4)} = 21$

Это уравнение решается с использованием основного логарифмического тождества: $a^{\log_a(b)} = b$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 4 > 0$

$x^2 > 4$

Это неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Теперь применим основное логарифмическое тождество к левой части уравнения:

$2^{\log_2(x^2 - 4)} = x^2 - 4$

Получаем простое квадратное уравнение:

$x^2 - 4 = 21$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x < -2$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-5; 5$.

б) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 9x + 21)} = 1$

Используем то же основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x^2 - 9x + 21 > 0$

Для анализа этого квадратного трехчлена найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 81 - 84 = -3$

Поскольку старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($1>0$), а дискриминант отрицателен ($D<0$), парабола $y = x^2 - 9x + 21$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 9x + 21$ положительно при любых действительных значениях $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \infty)$.

Применяем тождество к исходному уравнению:

$x^2 - 9x + 21 = 1$

Переносим 1 в левую часть и решаем квадратное уравнение:

$x^2 - 9x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 5$

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $4; 5$.

в) $9^{\log_9(x^2 - 5)} = 31$

Снова используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.

$x^2 - 5 > 0$

$x^2 > 5$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$.

Применяя тождество, получаем уравнение:

$x^2 - 5 = 31$

$x^2 = 36$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Проверяем корни по ОДЗ.

Так как $36 > 5$, то $6 > \sqrt{5}$, следовательно, $x_1 = 6$ подходит.

Так как $36 > 5$, то $-6 < -\sqrt{5}$, следовательно, $x_2 = -6$ подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; 6$.

г) $(0,3)^{\log_{0,3}(x^2 + x - 4)} = 2$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

ОДЗ: $x^2 + x - 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 4 = 0$, чтобы определить интервалы, где неравенство выполняется.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 4 > 0$ выполняется при $x$ за пределами корней. ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \infty)$.

Упрощаем исходное уравнение с помощью тождества:

$x^2 + x - 4 = 2$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 2$: нужно проверить, верно ли $2 > \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 > -1 + \sqrt{17}$, что эквивалентно $5 > \sqrt{17}$. Так как $25 > 17$, неравенство верно. Корень $x_1 = 2$ подходит.

Для $x_2 = -3$: нужно проверить, верно ли $-3 < \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$. Умножим обе части на 2: $-6 < -1 - \sqrt{17}$, что эквивалентно $\sqrt{17} < 5$. Это верно. Корень $x_2 = -3$ подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 2$.