Номер 17.10, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.10, страница 105.

17.10. a) $\log_7 (\log_3 (\log_2 x)) = 0;$

б) $\log_{18} (\log_2 (\log_3 4x)) = 0;$

в) $\log_{25} (\log_3 (\log_2 x)) = 0;$

г) $\log_{12} (\log_4 (\log_3 (x + 1))) = 0.$

а)

Дано уравнение: $\log_7(\log_3(\log_2 x)) = 0$.

Для решения этого уравнения будем последовательно избавляться от логарифмов, начиная с внешнего. Используем определение логарифма: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. В частном случае, когда логарифм равен нулю ($\log_a b = 0$), его аргумент $b$ равен единице ($b = a^0 = 1$).

1. Применим это свойство к внешнему логарифму с основанием 7:

$\log_3(\log_2 x) = 7^0 = 1$

2. Теперь у нас есть уравнение $\log_3(\log_2 x) = 1$. Снова применяем определение логарифма:

$\log_2 x = 3^1 = 3$

3. Осталось решить простейшее логарифмическое уравнение $\log_2 x = 3$:

$x = 2^3 = 8$

Проверим найденный корень на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов в исходном уравнении должны быть положительными:

1. $x > 0 \implies 8 > 0$ (верно).

2. $\log_2 x > 0 \implies \log_2 8 = 3 > 0$ (верно).

3. $\log_3(\log_2 x) > 0 \implies \log_3(3) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $8$

б)

Дано уравнение: $\log_{18}(\log_2(\log_3 4x)) = 0$.

Решаем по аналогии с предыдущим пунктом, последовательно "разворачивая" логарифмы.

1. Из того, что внешний логарифм равен нулю, следует, что его аргумент равен 1:

$\log_2(\log_3 4x) = 18^0 = 1$

2. Решаем уравнение $\log_2(\log_3 4x) = 1$:

$\log_3 4x = 2^1 = 2$

3. Решаем уравнение $\log_3 4x = 2$:

$4x = 3^2 = 9$

$x = \frac{9}{4}$

Проверим ОДЗ:

1. $4x > 0 \implies x > 0$. Наше решение $x = 9/4$ удовлетворяет этому условию: $9/4 > 0$ (верно).

2. $\log_3 4x > 0 \implies \log_3(4 \cdot \frac{9}{4}) = \log_3 9 = 2 > 0$ (верно).

3. $\log_2(\log_3 4x) > 0 \implies \log_2(2) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $\frac{9}{4}$

в)

Дано уравнение: $\log_{25}(\log_3(\log_2 x)) = 0$.

Структура этого уравнения идентична уравнению в пункте а), отличается только основание внешнего логарифма.

1. Так как $\log_{25}(\dots) = 0$, то аргумент равен 1:

$\log_3(\log_2 x) = 25^0 = 1$

2. Решаем уравнение $\log_3(\log_2 x) = 1$:

$\log_2 x = 3^1 = 3$

3. Решаем уравнение $\log_2 x = 3$:

$x = 2^3 = 8$

Проверка ОДЗ полностью совпадает с проверкой в пункте а), где было показано, что $x=8$ является допустимым корнем.

Ответ: $8$

г)

Дано уравнение: $\log_{12}(\log_4(\log_3 (x + 1))) = 0$.

Действуем по той же схеме.

1. Приравниваем аргумент внешнего логарифма к единице:

$\log_4(\log_3 (x + 1)) = 12^0 = 1$

2. Решаем полученное уравнение $\log_4(\dots) = 1$:

$\log_3 (x + 1) = 4^1 = 4$

3. Решаем уравнение $\log_3 (x + 1) = 4$:

$x + 1 = 3^4 = 81$

$x = 80$

Проверим ОДЗ:

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$. Наше решение $x = 80$ удовлетворяет этому условию: $80 > -1$ (верно).

2. $\log_3(x + 1) > 0 \implies \log_3(80 + 1) = \log_3 81 = 4 > 0$ (верно).

3. $\log_4(\log_3(x + 1)) > 0 \implies \log_4(4) = 1 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $80$