Номер 17.5, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.5, страница 105.

17.5. a) $ \log_{0,1} (x^2 + 4x - 20) = 0; $

б) $ \log_{\frac{1}{7}} (x^2 + x - 5) = -1; $

в) $ \log_{7} (x^2 - 12x + 36) = 0; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} (x^2 + 3x - 1) = -2. $

а) $log_{0,1}(x^2 + 4x - 20) = 0$

Данное логарифмическое уравнение решается по определению логарифма: $log_a(b) = c$ равносильно $b = a^c$. При этом должно выполняться условие $b > 0$.

Применяя определение, получаем:

$x^2 + 4x - 20 = 0,1^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому:

$x^2 + 4x - 20 = 1$

Переносим 1 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -21$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Проверка области допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть больше нуля, т.е. $x^2 + 4x - 20 > 0$. В нашем случае, мы приравняли аргумент к $0,1^0 = 1$, а $1 > 0$, так что ОДЗ выполняется для найденных корней.

Ответ: $-7; 3$.

б) $log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1$

Используем определение логарифма:

$x^2 + x - 5 = (\frac{1}{7})^{-1}$

Вычисляем значение степени в правой части:

$(\frac{1}{7})^{-1} = 7$

Подставляем это значение в уравнение:

$x^2 + x - 5 = 7$

Переносим 7 влево:

$x^2 + x - 12 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

ОДЗ: $x^2 + x - 5 > 0$. Поскольку $x^2 + x - 5 = 7$, а $7 > 0$, условие выполняется.

Ответ: $-4; 3$.

в) $log_7(x^2 - 12x + 36) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 12x + 36 = 7^0$

$x^2 - 12x + 36 = 1$

Переносим 1 влево:

$x^2 - 12x + 35 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 35$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

ОДЗ: $x^2 - 12x + 36 > 0$. Выражение в левой части можно свернуть в полный квадрат: $(x-6)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=6$. Найденные корни $5$ и $7$ не равны $6$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; 7$.

г) $log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2$

По определению логарифма:

$x^2 + 3x - 1 = (\frac{1}{3})^{-2}$

Вычисляем степень:

$(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$

Получаем уравнение:

$x^2 + 3x - 1 = 9$

Переносим 9 влево:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 > 0$. В ходе решения мы выяснили, что $x^2 + 3x - 1 = 9$, а $9 > 0$, значит ОДЗ выполняется.

Ответ: $-5; 2$.