Номер 17.4, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.4, страница 104.

17.4. a) $log_{cosx} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1;$

б) $log_{cosx} \frac{1}{2} = 2;$

в) $log_{sinx} \frac{1}{2} = 1;$

г) $log_{sinx} \frac{3}{4} = 2.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{\cos x} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $.
По определению логарифма, $ \log_a b = c $ эквивалентно $ a^c = b $. Применим это к нашему уравнению:$ (\cos x)^1 = \frac{\sqrt{3}}{2} $, что упрощается до $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: основание должно быть положительным и не равным единице.1. Основание $ \cos x > 0 $.2. Основание $ \cos x \ne 1 $.
Значение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяет обоим условиям, так как $ 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 $.
Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Корни этого уравнения: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.

б) Исходное уравнение: $ \log_{\cos x} \frac{1}{2} = 2 $.
По определению логарифма:$ (\cos x)^2 = \frac{1}{2} $, или $ \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
ОДЗ: $ \cos x > 0 $ и $ \cos x \ne 1 $.
Из уравнения $ \cos^2 x = \frac{1}{2} $ следует, что $ \cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.Согласно ОДЗ, основание логарифма $ \cos x $ должно быть положительным, поэтому мы отбрасываем решение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.Остается решить уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это значение удовлетворяет условиям $ \cos x > 0 $ и $ \cos x \ne 1 $.
Корни этого уравнения: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, получаем:$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z $.

в) Исходное уравнение: $ \log_{\sin x} \frac{1}{2} = 1 $.
По определению логарифма:$ (\sin x)^1 = \frac{1}{2} $, что упрощается до $ \sin x = \frac{1}{2} $.
ОДЗ: основание $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Значение $ \sin x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет обоим условиям, так как $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $.
Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.Общая формула для корней этого уравнения: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.

г) Исходное уравнение: $ \log_{\sin x} \frac{3}{4} = 2 $.
По определению логарифма:$ (\sin x)^2 = \frac{3}{4} $, или $ \sin^2 x = \frac{3}{4} $.
ОДЗ: $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Из уравнения $ \sin^2 x = \frac{3}{4} $ следует, что $ \sin x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $.Согласно ОДЗ, основание логарифма $ \sin x $ должно быть положительным, поэтому мы отбрасываем решение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Остается решить уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это значение удовлетворяет условиям $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Общая формула для корней этого уравнения: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:$ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.