Страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

18.11. a) $ \log_8(x^2 - 7x) > 1; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le 1; $

в) $ \log_2(x^2 - 6x + 24) < 4; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge 2. $

а) $\log_{8}(x^2 - 7x) > 1$
1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x^2 - 7x > 0$
$x(x - 7) > 0$
Решая это квадратное неравенство методом интервалов, находим, что парабола $y=x(x-7)$ с ветвями вверх положительна вне корней $x=0$ и $x=7$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$.
2. Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{8}8$.
$\log_{8}(x^2 - 7x) > \log_{8}8$
Так как основание логарифма $8 > 1$, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 7x > 8$
$x^2 - 7x - 8 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$), корни равны:
$x_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1$
$x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$
Неравенство $(x+1)(x-8) > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств:
$(-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le 1$
1. Найдем ОДЗ: $x^2 + 0,5x > 0 \implies x(x+0,5) > 0$.
Корни: $x=0$ и $x=-0,5$. Парабола с ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Представим $1 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$.
$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 0,5x \ge \frac{1}{2}$
$x^2 + 0,5x - 0,5 \ge 0$
Умножим неравенство на 2 для удобства: $2x^2 + x - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
Решение неравенства $2(x+1)(x-0,5) \ge 0$ есть $x \in (-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$(-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)$ и $(-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.

в) $\log_{2}(x^2 - 6x + 24) < 4$
1. Найдем ОДЗ: $x^2 - 6x + 24 > 0$.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то парабола целиком лежит выше оси Ox, и выражение $x^2 - 6x + 24$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть $x$ - любое действительное число.
2. Решим неравенство. Представим $4 = \log_{2}2^4 = \log_{2}16$.
$\log_{2}(x^2 - 6x + 24) < \log_{2}16$
Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 6x + 24 < 16$
$x^2 - 6x + 8 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Неравенство $(x-2)(x-4) < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (2; 4)$.
3. Так как ОДЗ не накладывает ограничений, итоговое решение совпадает с решением неравенства.
Ответ: $(2; 4)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge 2$
1. Найдем ОДЗ: $-x^2 + \frac{10}{9}x > 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - \frac{10}{9}x < 0 \implies x(x - \frac{10}{9}) < 0$.
Парабола с ветвями вверх, значение отрицательно между корнями $x=0$ и $x=\frac{10}{9}$.
ОДЗ: $x \in (0; \frac{10}{9})$.
2. Решим неравенство. Представим $2 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$.
$\log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + \frac{10}{9}x \le \frac{1}{9}$
Перенесем все в одну сторону: $-x^2 + \frac{10}{9}x - \frac{1}{9} \le 0$.
Умножим на $-9$ и снова сменим знак: $9x^2 - 10x + 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 10x + 1 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$x_2 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$
Решение неравенства $9(x-\frac{1}{9})(x-1) \ge 0$ есть $x \in (-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)$.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств:
$(0; \frac{10}{9})$ и $(-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)$.
Сравнивая значения на числовой прямой $0 < \frac{1}{9} < 1 < \frac{10}{9}$, получаем пересечение.
Итоговое решение: $x \in (0; \frac{1}{9}] \cup [1; \frac{10}{9})$.
Ответ: $(0; \frac{1}{9}] \cup [1; \frac{10}{9})$.

18.12. a) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{3x - 2}{2x - 3} > -1;$

в) $\log_6 \frac{7x - 4}{x + 2} \le 0;$

б) $\log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < 1;$

г) $\log_{0,1} (7x^2 - x^4) > -1.$

а) $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{3x-2}{2x-3} > -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{3x-2}{2x-3} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

$2x-3=0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Отмечаем точки $2/3$ и $3/2$ на числовой прямой и определяем знаки дроби на интервалах. Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• При $x < 2/3$, оба отрицательны, дробь положительна.
• При $2/3 < x < 3/2$, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
• При $x > 3/2$, оба положительны, дробь положительна.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Решаем само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $1/3$:

$ -1 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}} 3 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{3x-2}{2x-3} > \log_{\frac{1}{3}} 3 $

Так как основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{3x-2}{2x-3} < 3 $

3. Решаем полученное рациональное неравенство:

$ \frac{3x-2}{2x-3} - 3 < 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - 3(2x-3)}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{3x-2 - 6x+9}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{-3x+7}{2x-3} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{3x-7}{2x-3} > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов (нули: $x=7/3$ и $x=3/2$), получаем: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}; +\infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty; 3/2) \cup (7/3; +\infty)$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (3/2; +\infty)$

Пересечение этих двух множеств: $(-\infty; 2/3) \cup (7/3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{7}{3}; +\infty)$.

б) $ \log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < 1 $

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:

$ 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} > 0 $

Введем замену $t = \sqrt[3]{x}$. Неравенство принимает вид:

$ 2t^2 - 3t > 0 \Rightarrow t(2t-3) > 0 $

Решением этого квадратного неравенства являются интервалы $t < 0$ или $t > 3/2$.

Возвращаемся к замене:

$ \sqrt[3]{x} < 0 \Rightarrow x < 0 $

$ \sqrt[3]{x} > 3/2 \Rightarrow x > (\frac{3}{2})^3 \Rightarrow x > \frac{27}{8} $

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{27}{8}; +\infty)$.

2. Решаем основное неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 5: $1 = \log_5 5$.

$ \log_5 (2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x}) < \log_5 5 $

Основание логарифма $a=5 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} < 5 \Rightarrow 2\sqrt[3]{x^2} - 3\sqrt[3]{x} - 5 < 0 $

3. Снова используем замену $t = \sqrt[3]{x}$:

$ 2t^2 - 3t - 5 < 0 $

Находим корни квадратного трехчлена $2t^2 - 3t - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$ t_1 = \frac{3-7}{4} = -1 $, $ t_2 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $

Решением неравенства является интервал между корнями: $-1 < t < 5/2$.

4. Возвращаемся к $x$:

$ -1 < \sqrt[3]{x} < \frac{5}{2} $

Возводим все части в куб: $(-1)^3 < x < (\frac{5}{2})^3 \Rightarrow -1 < x < \frac{125}{8}$.

5. Находим пересечение решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-1; \frac{125}{8})$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{27}{8}; +\infty)$

Пересечение: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{27}{8}; \frac{125}{8})$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (\frac{27}{8}; \frac{125}{8})$.

в) $ \log_6 \frac{7x-4}{x+2} \le 0 $

1. Найдем ОДЗ:

$ \frac{7x-4}{x+2} > 0 $

Методом интервалов (нули: $x=4/7, x=-2$) находим ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{4}{7}; +\infty)$.

2. Решаем неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию 6: $0 = \log_6 1$.

$ \log_6 \frac{7x-4}{x+2} \le \log_6 1 $

Основание $a=6 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$ \frac{7x-4}{x+2} \le 1 $

3. Решаем рациональное неравенство:

$ \frac{7x-4}{x+2} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{7x-4 - (x+2)}{x+2} \le 0 \Rightarrow \frac{6x-6}{x+2} \le 0 \Rightarrow \frac{6(x-1)}{x+2} \le 0 $

Методом интервалов (нули: $x=1, x=-2$) получаем решение: $x \in (-2; 1]$.

4. Находим пересечение решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-2; 1]$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4/7; +\infty)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{4}{7}; 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; 1]$.

г) $ \log_{0.1} (7x^2 - x^4) > -1 $

1. Найдем ОДЗ:

$ 7x^2 - x^4 > 0 \Rightarrow x^2(7-x^2) > 0 $

Поскольку $x^2 \ge 0$, это неравенство эквивалентно системе:

$ \begin{cases} x^2 \ne 0 \\ 7 - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 0 \\ x^2 < 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ne 0 \\ -\sqrt{7} < x < \sqrt{7} \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$.

2. Решаем неравенство. Представим -1 как логарифм: $-1 = \log_{0.1}(0.1^{-1}) = \log_{0.1} 10$.

$ \log_{0.1} (7x^2 - x^4) > \log_{0.1} 10 $

Основание $a=0.1 \in (0; 1)$, функция убывающая, знак неравенства меняется:

$ 7x^2 - x^4 < 10 \Rightarrow x^4 - 7x^2 + 10 > 0 $

3. Решаем биквадратное неравенство. Пусть $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$ t^2 - 7t + 10 > 0 $

Корни уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$ равны $t_1=2$ и $t_2=5$.

Решением неравенства является объединение интервалов $t < 2$ или $t > 5$.

4. Возвращаемся к $x$:

Случай 1: $t < 2 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.

Случай 2: $t > 5 \Rightarrow x^2 > 5 \Rightarrow x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Общее решение этого шага: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

5. Находим пересечение с ОДЗ: $x \in (-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$.

Учтем, что $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{5} \approx 2.24$, $\sqrt{7} \approx 2.65$.

• Пересечение $(-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$ с $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ дает $(-\sqrt{7}; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \sqrt{7})$.
• Пересечение $(-\sqrt{7}; 0) \cup (0; \sqrt{7})$ с $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ дает $(-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2})$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\sqrt{7}; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{2}; 0) \cup (0; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{5}; \sqrt{7})$.

18.13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $ \log_{12}(x^2 - x) \le 1; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0; $

в) $ \log_9(x^2 - 8x) \le 1; $

г) $ \log_{0,3}(-x^2 + 7x - 5) < 0? $

а) $ \log_{12}(x^2 - x) \le 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x^2 - x > 0 $
$ x(x - 1) > 0 $
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

2. Решим основное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $ 12 > 1 $, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется: $ x^2 - x \le 12^1 $
$ x^2 - x - 12 \le 0 $

3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 12 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 4 $. Так как парабола $ y = x^2 - x - 12 $ ветвями вверх, неравенство $ \le 0 $ выполняется между корнями, включая их: $ x \in [-3, 4] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $ ([-3, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, \infty)) = [-3, 0) \cup (1, 4] $.

5. Перечислим целочисленные решения из полученных интервалов: Из интервала $ [-3, 0) $: -3, -2, -1. (3 числа) Из интервала $ (1, 4] $: 2, 3, 4. (3 числа) Всего целочисленных решений: $ 3 + 3 = 6 $.

Ответ: 6

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0 $

1. ОДЗ: $ x^2 - 10x + 9 > 0 $
$ (x - 1)(x - 9) > 0 $
$ x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty) $.

2. Решим основное неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный: $ x^2 - 10x + 9 \le (\frac{1}{2})^0 $
$ x^2 - 10x + 9 \le 1 $
$ x^2 - 10x + 8 \le 0 $

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 10x + 8 = 0 $: $ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17} $. Решением неравенства является отрезок $ [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Оценим значения корней: $ 4 < \sqrt{17} < 5 $. $ 5 - \sqrt{17} \approx 5 - 4.12 = 0.88 $. $ 5 + \sqrt{17} \approx 5 + 4.12 = 9.12 $. Итак, решение $ x \in [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}] \approx [0.88, 9.12] $. Пересечение с ОДЗ $ (-\infty, 1) \cup (9, \infty) $: $ x \in [5 - \sqrt{17}, 1) \cup (9, 5 + \sqrt{17}] $.

5. Найдем целочисленные решения. Интервал $ [5 - \sqrt{17}, 1) \approx [0.88, 1) $ не содержит целых чисел. Интервал $ (9, 5 + \sqrt{17}] \approx (9, 9.12] $ также не содержит целых чисел. Следовательно, целочисленных решений нет.

Ответ: 0

в) $ \log_9(x^2 - 8x) \le 1 $

1. ОДЗ: $ x^2 - 8x > 0 $
$ x(x - 8) > 0 $
$ x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty) $.

2. Решим неравенство. Основание $ 9 > 1 $, знак сохраняется: $ x^2 - 8x \le 9^1 $
$ x^2 - 8x - 9 \le 0 $

3. Найдем корни уравнения $ x^2 - 8x - 9 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = 9 $. Решение квадратного неравенства: $ x \in [-1, 9] $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $ ([-1, 9]) \cap ((-\infty, 0) \cup (8, \infty)) = [-1, 0) \cup (8, 9] $.

5. Целочисленные решения: Из интервала $ [-1, 0) $ — число -1. Из интервала $ (8, 9] $ — число 9. Всего 2 целочисленных решения.

Ответ: 2

г) $ \log_{0.3}(-x^2 + 7x - 5) < 0 $

1. ОДЗ: $ -x^2 + 7x - 5 > 0 $
$ x^2 - 7x + 5 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 - 7x + 5 = 0 $: $ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2} $. ОДЗ: $ x \in (\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2}) $.

2. Решим неравенство. Основание $ 0.3 < 1 $, знак меняется на противоположный: $ -x^2 + 7x - 5 > (0.3)^0 $
$ -x^2 + 7x - 5 > 1 $
$ -x^2 + 7x - 6 > 0 $
$ x^2 - 7x + 6 < 0 $

3. Решим квадратное неравенство $ x^2 - 7x + 6 < 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $: $ x_1 = 1, x_2 = 6 $. Решение: $ x \in (1, 6) $.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Оценим границы ОДЗ: $ 5 < \sqrt{29} < 6 $. $ \frac{7 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{7 - 5.4}{2} = 0.8 $. $ \frac{7 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{7 + 5.4}{2} = 6.2 $. ОДЗ примерно $ (0.8, 6.2) $. Интервал $ (1, 6) $ полностью входит в ОДЗ, поэтому он и является решением.

5. Целочисленные решения в интервале $ (1, 6) $: 2, 3, 4, 5. Всего 4 целочисленных решения.

Ответ: 4

Решите неравенство:

18.14. a) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1;$

б) $\log_2(7 - x) + \log_2 x \geq 1 + \log_2 3;$

в) $\lg(7 - x) + \lg x > 1;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \geq -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5.$

а) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 4)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > -1$

3. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 3$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > \log_{\frac{1}{3}} 3$

4. Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(4 - x) < 3$

$4x - x^2 < 3$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

6. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0, 4)$:

$(-\infty, 1) \cup (3, \infty) \cap (0, 4) = (0, 1) \cup (3, 4)$

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (3, 4)$.

б) $\log_2 (7 - x) + \log_2 x \ge 1 + \log_2 3$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (0, 7)$.

2. Преобразуем неравенство. Перенесем все логарифмы в одну часть и представим 1 как логарифм по основанию 2:

$\log_2 (x(7 - x)) \ge \log_2 2^1 + \log_2 3$

$\log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 (2 \cdot 3)$

$\log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 6$

3. Так как основание логарифма 2 больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$7x - x^2 \ge 6$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их): $x \in [1, 6]$.

5. Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (0, 7)$:

$[1, 6] \cap (0, 7) = [1, 6]$

Ответ: $x \in [1, 6]$.

в) $\lg (7 - x) + \lg x > 1$

1. ОДЗ такое же, как в пункте б): $x \in (0, 7)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойства десятичного логарифма ($\lg$ - это $\log_{10}$):

$\lg(x(7 - x)) > 1$

Представим 1 как $\lg 10$:

$\lg(7x - x^2) > \lg 10$

3. Основание логарифма 10 больше 1, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$7x - x^2 > 10$

$x^2 - 7x + 10 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ равны $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Парабола $y = x^2 - 7x + 10$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (2, 5)$.

5. Пересекаем решение с ОДЗ $x \in (0, 7)$:

$(2, 5) \cap (0, 7) = (2, 5)$

Ответ: $x \in (2, 5)$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \ge -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ 10 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 10 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (0, 10)$.

2. Преобразуем неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} (x(10 - x)) \ge \log_{\frac{1}{2}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right) + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4,5)$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 9$

3. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$10x - x^2 \le 9$

$x^2 - 10x + 9 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Парабола $y = x^2 - 10x + 9$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая их): $x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0, 10)$:

$\left( (-\infty, 1] \cup [9, \infty) \right) \cap (0, 10) = (0, 1] \cup [9, 10)$

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [9, 10)$.

18.15. a) $\lg (x + 3) + \lg (2x - 8) < 2 \lg x;$

б) $\log_{0.5}(3x - 1) - \log_{0.5}(x - 1) < \log_{0.5}(x + 18) - \log_{0.5}(x + 2);$

В) $\log_3(2x - 7) \ge 2 \log_3(x + 1) - \log_3(x - 19);$

Г) $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 3) + \log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ge \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}}x^2 + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9).$

а) $lg(x + 3) + lg(2x - 8) < 2 lg x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -3 \\ x > 4 \\ x > 0 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $k \log_a b = \log_a(b^k)$:
$lg((x + 3)(2x - 8)) < lg(x^2)$

3. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$(x + 3)(2x - 8) < x^2$
$2x^2 - 8x + 6x - 24 < x^2$
$2x^2 - 2x - 24 < x^2$
$x^2 - 2x - 24 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$.
Так как парабола $y = x^2 - 2x - 24$ ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 24 < 0$ выполняется между корнями: $-4 < x < 6$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} -4 < x < 6 \\ x > 4 \end{cases} $
Решением системы является интервал $4 < x < 6$.

Ответ: $(4; 6)$.

б) $\log_{0,5}(3x - 1) - \log_{0,5}(x - 1) < \log_{0,5}(x + 18) - \log_{0,5}(x + 2)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x + 18 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 1/3 \\ x > 1 \\ x > -18 \\ x > -2 \end{cases} $
Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Используем свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_{0,5}\left(\frac{3x - 1}{x - 1}\right) < \log_{0,5}\left(\frac{x + 18}{x + 2}\right)$

3. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{3x - 1}{x - 1} > \frac{x + 18}{x + 2}$

4. Решим рациональное неравенство:
$\frac{3x - 1}{x - 1} - \frac{x + 18}{x + 2} > 0$
$\frac{(3x - 1)(x + 2) - (x + 18)(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{(3x^2 + 6x - x - 2) - (x^2 - x + 18x - 18)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{3x^2 + 5x - 2 - x^2 - 17x + 18}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{2x^2 - 12x + 16}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{2(x^2 - 6x + 8)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1 = 2, x_2 = 4$.
$\frac{2(x - 2)(x - 4)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: 2, 4. Нули знаменателя: 1, -2. Отметим точки -2, 1, 2, 4 на числовой оси. Решением неравенства являются интервалы $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (4; +\infty)$.

5. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x > 1$:
Решением является объединение интервалов $(1; 2) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(1; 2) \cup (4; +\infty)$.

в) $\log_3(2x - 7) \ge 2\log_3(x + 1) - \log_3(x - 19)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 19 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 3,5 \\ x > -1 \\ x > 19 \end{cases} $
Пересечением является $x > 19$. ОДЗ: $x \in (19; +\infty)$.

2. Преобразуем правую часть неравенства:
$\log_3(2x - 7) \ge \log_3((x + 1)^2) - \log_3(x - 19)$
$\log_3(2x - 7) \ge \log_3\left(\frac{(x + 1)^2}{x - 19}\right)$

3. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2x - 7 \ge \frac{(x + 1)^2}{x - 19}$

4. Так как по ОДЗ $x > 19$, то $x - 19 > 0$. Можем умножить обе части на $(x - 19)$:
$(2x - 7)(x - 19) \ge (x + 1)^2$
$2x^2 - 38x - 7x + 133 \ge x^2 + 2x + 1$
$2x^2 - 45x + 133 \ge x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 47x + 132 \ge 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 47x + 132 = 0$.
$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681 = 41^2$.
$x_1 = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44$.
Парабола $y = x^2 - 47x + 132$ ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \le 3$ или $x \ge 44$.

6. Пересекаем с ОДЗ $x > 19$:
$ \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [44; +\infty) \\ x > 19 \end{cases} $
Решением является $x \ge 44$.

Ответ: $[44; +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 3) + \log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ge \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} x^2 + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x^2 > 0 \\ 4x - 9 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -1,5 \\ x > 2 \\ x \ne 0 \\ x > 9/4 \end{cases} $
Пересечением является $x > 9/4$ (или $x > 2,25$). ОДЗ: $x \in (9/4; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Отметим, что $\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} x^2 = \log_{\frac{1}{3}} (x^2)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{3}} |x|$. Так как по ОДЗ $x > 9/4$, то $|x| = x$.
$\log_{\frac{1}{3}}((2x + 3)(x - 2)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(x) + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9)$
$\log_{\frac{1}{3}}((2x + 3)(x - 2)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(x(4x - 9))$

3. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$(2x + 3)(x - 2) \le x(4x - 9)$

4. Решим полученное неравенство:
$2x^2 - 4x + 3x - 6 \le 4x^2 - 9x$
$2x^2 - x - 6 \le 4x^2 - 9x$
$0 \le 2x^2 - 8x + 6$
$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 3$.

6. Пересекаем с ОДЗ $x > 9/4$ (т.е. $x > 2,25$):
$ \begin{cases} x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \\ x > 2,25 \end{cases} $
Решением является $x \ge 3$.

Ответ: $[3; +\infty)$.

18.16. a) $\log_2(x^2 + 2x + 4) + \log_2(x - 2) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3);$

б) $\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x + 2) + \lg(x^2 - 2x + 4).$

а) $\log_2(x^2 + 2x + 4) + \log_2(x - 2) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 + 2x + 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x^3 - x^2 + 4x - 3 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство системы:

• Для $x^2 + 2x + 4 > 0$: дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), то выражение $x^2 + 2x + 4$ положительно при любых $x$.
• Для $x - 2 > 0$: получаем $x > 2$.
• Для $x^3 - x^2 + 4x - 3 > 0$: проверим это условие с учетом того, что $x > 2$. Пусть $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 3$. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 2x + 4$. Дискриминант для $f'(x)$ равен $D_{f'} = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44 < 0$. Так как $D_{f'} < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, $f'(x) > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой оси. Найдем значение функции на границе промежутка $x>2$: $f(2) = 2^3 - 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 4 + 8 - 3 = 9 > 0$. Так как функция возрастает, то для всех $x > 2$ будет выполняться $f(x) > f(2) > 0$.

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x > 2$.

2. Упростим исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x^2 + 2x + 4)(x - 2)) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

Заметим, что выражение $(x^2 + 2x + 4)(x - 2)$ является формулой разности кубов $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x^3 - 8) < \log_2(x^3 - x^2 + 4x - 3)$

3. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак неравенства:

$x^3 - 8 < x^3 - x^2 + 4x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 4x - 8 + 3 < 0$

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$ выполняется между корнями: $-1 < x < 5$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -1 < x < 5 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением является интервал $(2; 5)$.

Ответ: $x \in (2; 5)$.

б) $\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x + 2) + \lg(x^2 - 2x + 4)$

1. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg((x + 2)(x^2 - 2x + 4))$

Выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ является формулой суммы кубов $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^3 - x^2 - x + 20) \ge \lg(x^3 + 8)$

2. Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^3 + 8 > 0 \\ x^3 - x^2 - x + 20 \ge x^3 + 8 \end{cases}$

Условие $x^3 - x^2 - x + 20 > 0$ здесь избыточно, так как из второго неравенства системы следует, что левая часть больше или равна правой, а правая часть, в свою очередь, должна быть строго больше нуля по первому неравенству.

Также нужно учесть ОДЗ исходного неравенства: $x+2>0$ и $x^2-2x+4>0$.

• $x^2 - 2x + 4 > 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$. Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, это выражение положительно при любых $x$.
• Условие $x^3+8 > 0$ равносильно $(x+2)(x^2-2x+4)>0$. Так как второй множитель всегда положителен, то это неравенство сводится к $x+2 > 0$, что дает $x > -2$.

Итак, решаем систему:

$\begin{cases} x > -2 \\ x^3 - x^2 - x + 20 \ge x^3 + 8 \end{cases}$

3. Решим второе неравенство системы:

$-x^2 - x + 20 \ge 8$

$-x^2 - x + 12 \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + x - 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-4 \le x \le 3$.

4. Найдем пересечение полученного решения с условием $x > -2$:

$\begin{cases} -4 \le x \le 3 \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением является полуинтервал $(-2; 3]$.

Ответ: $x \in (-2; 3]$.