Номер 18.14, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.14, страница 112.

Решите неравенство:

18.14. a) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1;$

б) $\log_2(7 - x) + \log_2 x \geq 1 + \log_2 3;$

в) $\lg(7 - x) + \lg x > 1;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \geq -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5.$

а) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 4)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > -1$

3. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 3$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > \log_{\frac{1}{3}} 3$

4. Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(4 - x) < 3$

$4x - x^2 < 3$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

6. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0, 4)$:

$(-\infty, 1) \cup (3, \infty) \cap (0, 4) = (0, 1) \cup (3, 4)$

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (3, 4)$.

б) $\log_2 (7 - x) + \log_2 x \ge 1 + \log_2 3$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (0, 7)$.

2. Преобразуем неравенство. Перенесем все логарифмы в одну часть и представим 1 как логарифм по основанию 2:

$\log_2 (x(7 - x)) \ge \log_2 2^1 + \log_2 3$

$\log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 (2 \cdot 3)$

$\log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 6$

3. Так как основание логарифма 2 больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$7x - x^2 \ge 6$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Парабола $y = x^2 - 7x + 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их): $x \in [1, 6]$.

5. Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (0, 7)$:

$[1, 6] \cap (0, 7) = [1, 6]$

Ответ: $x \in [1, 6]$.

в) $\lg (7 - x) + \lg x > 1$

1. ОДЗ такое же, как в пункте б): $x \in (0, 7)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойства десятичного логарифма ($\lg$ - это $\log_{10}$):

$\lg(x(7 - x)) > 1$

Представим 1 как $\lg 10$:

$\lg(7x - x^2) > \lg 10$

3. Основание логарифма 10 больше 1, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$7x - x^2 > 10$

$x^2 - 7x + 10 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ равны $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Парабола $y = x^2 - 7x + 10$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (2, 5)$.

5. Пересекаем решение с ОДЗ $x \in (0, 7)$:

$(2, 5) \cap (0, 7) = (2, 5)$

Ответ: $x \in (2, 5)$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \ge -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ 10 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 10 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (0, 10)$.

2. Преобразуем неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} (x(10 - x)) \ge \log_{\frac{1}{2}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right) + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4,5)$

$\log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 9$

3. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$10x - x^2 \le 9$

$x^2 - 10x + 9 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Парабола $y = x^2 - 10x + 9$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая их): $x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0, 10)$:

$\left( (-\infty, 1] \cup [9, \infty) \right) \cap (0, 10) = (0, 1] \cup [9, 10)$

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [9, 10)$.