Номер 18.19, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.19, страница 113.

18.19. a) $\log^2_2 x^2 - 15 \log_2 (2x) + 11 \le 0$;

б) $\log^2_{\frac{1}{3}} (x^2 - 2x + 1) - 7 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3 \le 0$;

в) $2 \log^2_5 x^2 + 5 \log_5 (25x) - 8 \ge 0$;

г) $\log^2_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 1) - 31 \log_{\frac{1}{5}} \frac{x+1}{5} + 15 < 0$.

а) Исходное неравенство: $\log_2^2 x^2 - 15 \log_2 2x + 11 \le 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$
$2x > 0 \implies x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
2. Упростим логарифмические выражения с учетом ОДЗ.
$\log_2^2 x^2 = (\log_2 x^2)^2$. Так как $x > 0$, то $\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$. Следовательно, $(\log_2 x^2)^2 = (2 \log_2 x)^2 = 4 \log_2^2 x$.
$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.
3. Подставим упрощенные выражения в неравенство:
$4 \log_2^2 x - 15(1 + \log_2 x) + 11 \le 0$
$4 \log_2^2 x - 15 - 15 \log_2 x + 11 \le 0$
$4 \log_2^2 x - 15 \log_2 x - 4 \le 0$
4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:
$4t^2 - 15t - 4 \le 0$.
5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 15t - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
Корни: $t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$, $t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.
Так как ветви параболы $y = 4t^2 - 15t - 4$ направлены вверх, неравенство $4t^2 - 15t - 4 \le 0$ выполняется при $t \in [-\frac{1}{4}, 4]$.
6. Вернемся к исходной переменной:
$-\frac{1}{4} \le \log_2 x \le 4$.
7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются.
$2^{-1/4} \le x \le 2^4$
$\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \le x \le 16$.
8. Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in [\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, 16]$.

б) Исходное неравенство: $\log_{1/3}^2 (x^2 - 2x + 1) - 7 \log_{1/3} (x - 1) + 3 \le 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \implies x \ne 1$.
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 1$.
2. Преобразуем неравенство. Заметим, что $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. С учетом ОДЗ $x-1>0$, имеем:
$\log_{1/3}(x^2 - 2x + 1) = \log_{1/3}(x-1)^2 = 2\log_{1/3}(x-1)$.
Тогда первый член неравенства равен $(2\log_{1/3}(x-1))^2 = 4\log_{1/3}^2(x-1)$.
Неравенство принимает вид:
$4\log_{1/3}^2(x-1) - 7\log_{1/3}(x-1) + 3 \le 0$.
3. Сделаем замену $t = \log_{1/3}(x-1)$:
$4t^2 - 7t + 3 \le 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 7t + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$.
Решение неравенства: $\frac{3}{4} \le t \le 1$.
5. Выполним обратную замену:
$\frac{3}{4} \le \log_{1/3}(x-1) \le 1$.
6. Решим двойное неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому при потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{3})^1 \le x-1 \le (\frac{1}{3})^{3/4}$.
$\frac{1}{3} \le x-1 \le \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + \frac{1}{3} \le x \le 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$
$\frac{4}{3} \le x \le 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$.
7. Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}]$.

в) Исходное неравенство: $2 \log_5^2 x^2 + 5 \log_5 25x - 8 \ge 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$.
$25x > 0 \implies x > 0$.
Итоговая ОДЗ: $x > 0$.
2. Упростим выражения, используя свойства логарифмов и ОДЗ:
$\log_5 x^2 = 2 \log_5 x$ (так как $x>0$).
$\log_5^2 x^2 = (2 \log_5 x)^2 = 4 \log_5^2 x$.
$\log_5 25x = \log_5 25 + \log_5 x = 2 + \log_5 x$.
3. Подставим в неравенство:
$2(4 \log_5^2 x) + 5(2 + \log_5 x) - 8 \ge 0$
$8 \log_5^2 x + 10 + 5 \log_5 x - 8 \ge 0$
$8 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 \ge 0$.
4. Сделаем замену $t = \log_5 x$:
$8t^2 + 5t + 2 \ge 0$.
5. Проанализируем квадратный трехчлен $8t^2 + 5t + 2$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 25 - 64 = -39$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 8 > 0$, то парабола $y = 8t^2 + 5t + 2$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $8t^2 + 5t + 2 \ge 0$ верно для всех $t \in \mathbb{R}$.
6. Это означает, что $\log_5 x$ может быть любым действительным числом, что возможно для любого $x$ из ОДЗ.
7. Решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\log_{1/5}^2 (x^2 + 2x + 1) - 31 \log_{1/5} \frac{x + 1}{5} + 15 < 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 + 2x + 1 > 0 \implies (x+1)^2 > 0 \implies x \ne -1$.
$\frac{x+1}{5} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$.
Итоговая ОДЗ: $x > -1$.
2. Преобразуем неравенство, учитывая ОДЗ:
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Так как $x > -1$, то $x+1 > 0$.
$\log_{1/5}(x^2 + 2x + 1) = \log_{1/5}(x+1)^2 = 2\log_{1/5}(x+1)$.
$\log_{1/5}^2(x^2 + 2x + 1) = (2\log_{1/5}(x+1))^2 = 4\log_{1/5}^2(x+1)$.
$\log_{1/5} \frac{x+1}{5} = \log_{1/5}(x+1) - \log_{1/5} 5 = \log_{1/5}(x+1) - (-1) = \log_{1/5}(x+1) + 1$.
3. Подставим в неравенство:
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31(\log_{1/5}(x+1) + 1) + 15 < 0$
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31\log_{1/5}(x+1) - 31 + 15 < 0$
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31\log_{1/5}(x+1) - 16 < 0$.
4. Сделаем замену $t = \log_{1/5}(x+1)$:
$4t^2 - 31t - 16 < 0$.
5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 31t - 16 = 0$.
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 961 + 256 = 1217$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{31 \pm \sqrt{1217}}{8}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $\frac{31 - \sqrt{1217}}{8} < t < \frac{31 + \sqrt{1217}}{8}$.
6. Выполним обратную замену:
$\frac{31 - \sqrt{1217}}{8} < \log_{1/5}(x+1) < \frac{31 + \sqrt{1217}}{8}$.
7. Решим двойное неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, поэтому знаки неравенства меняются:
$(\frac{1}{5})^{\frac{31 + \sqrt{1217}}{8}} < x+1 < (\frac{1}{5})^{\frac{31 - \sqrt{1217}}{8}}$.
Вычтем 1 из всех частей:
$(\frac{1}{5})^{\frac{31 + \sqrt{1217}}{8}} - 1 < x < (\frac{1}{5})^{\frac{31 - \sqrt{1217}}{8}} - 1$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > -1$).
Ответ: $x \in (5^{\frac{-31 - \sqrt{1217}}{8}} - 1; 5^{\frac{-31 + \sqrt{1217}}{8}} - 1)$.