Номер 18.26, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.26, страница 114.

18.26. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $ \log_2 \frac{1}{6 - x} \leq \log_{0.5} x^2; $

б) $ 0.25 \log_{\sqrt[4]{3}}(x + 6) \leq \log_3 (6 - x^2); $

в) $ 0.5 \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 6x + 24) \leq \log_8 (2x + 9)^3; $

г) $ \log_3 \left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right)^{-1} + \log_{\frac{1}{3}} 9 \geq 0? $

а)

Исходное неравенство: $\log_2 \frac{1}{6-x} \le \log_{0,5} x^2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Из условия $\frac{1}{6-x} > 0$ следует, что $6-x > 0$, то есть $x < 6$. Из условия $x^2 > 0$ следует, что $x \ne 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 6)$.

Теперь преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию 2. Используем свойства логарифмов: $\log_a b^{-1} = -\log_a b$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

Левая часть: $\log_2 \frac{1}{6-x} = \log_2 (6-x)^{-1} = -\log_2(6-x)$.

Правая часть: $\log_{0,5} x^2 = \log_{2^{-1}} x^2 = -\log_2 x^2$.

Неравенство принимает вид: $-\log_2(6-x) \le -\log_2 x^2$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\log_2(6-x) \ge \log_2 x^2$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак: $6-x \ge x^2$.

Решим полученное квадратное неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$ равны -3 и 2 (по теореме Виета). Поскольку ветви параболы $y=x^2+x-6$ направлены вверх, решение неравенства есть промежуток $x \in [-3, 2]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $[-3, 2] \cap ((-\infty, 0) \cup (0, 6))$. Получаем $x \in [-3, 0) \cup (0, 2]$.

Целочисленными решениями на этом множестве являются числа -3, -2, -1, 1, 2. Их общее количество — 5.

Ответ: 5.

б)

Исходное неравенство: $0,25 \log_{4\sqrt{3}}(x+6) \le \log_3(6-x^2)$.

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны.

Из $x+6 > 0$ следует $x > -6$.

Из $6-x^2 > 0$ следует $x^2 < 6$, то есть $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

Так как $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{6} < 3$. Приближенно $\sqrt{6} \approx 2.45$. Значит, ОДЗ: $x \in (-2.45, 2.45)$.

2. Целые числа, входящие в ОДЗ: -2, -1, 0, 1, 2. Проверим каждое из них подстановкой в исходное неравенство.

Для решения неравенства аналитически, приведем логарифмы к одному основанию, например, 3:

$0.25 \frac{\log_3(x+6)}{\log_3(4\sqrt{3})} \le \log_3(6-x^2)$.

Так как $\log_3(4\sqrt{3}) = \log_3(4) + \log_3(\sqrt{3}) = 2\log_3(2) + 0.5 > 0$ и на ОДЗ $\log_3(x+6) > 0$, $\log_3(6-x^2)$ может быть любого знака, то можно проверить целочисленные значения.

Давайте проверим выполнение неравенства $0.25 \le \frac{\log_3(6-x^2)}{\log_{4\sqrt{3}}(x+6)} = \log_3(6-x^2) \cdot \log_{x+6}(4\sqrt{3})$. Это сложно. Проще проверить подстановкой.

Неравенство $0.25 \log_{4\sqrt{3}}(x+6) \le \log_3(6-x^2)$ равносильно $\frac{\log_3(x+6)}{4\log_3(4\sqrt{3})} \le \log_3(6-x^2)$.

Проверим $x=2$: $0.25 \log_{4\sqrt{3}}(8) \le \log_3(2)$. Это $0.25 \frac{3\log_3 2}{\log_3(4\sqrt{3})} \le \log_3 2$. Так как $\log_3 2 > 0$, получаем $\frac{0.75}{\log_3(4\sqrt{3})} \le 1$, или $0.75 \le \log_3(4\sqrt{3})$. $\log_3(4\sqrt{3}) = \log_3(\sqrt{48})$. Так как $3^1 = 3 = \sqrt{9}$ и $3^2=9=\sqrt{81}$, то $\log_3(\sqrt{48})$ находится между 1.5 и 2. Значит, $0.75 \le \log_3(4\sqrt{3})$ верно. $x=2$ — решение.

Проверим $x=-2$: $0.25 \log_{4\sqrt{3}}(4) \le \log_3(2)$. Это $\frac{0.25 \cdot 2\log_3 2}{\log_3(4\sqrt{3})} \le \log_3 2$. Сокращая на $\log_3 2$, получаем $\frac{0.5}{\log_3(4\sqrt{3})} \le 1$, или $0.5 \le \log_3(4\sqrt{3})$. Это также верно. $x=-2$ — решение.

Аналогично можно проверить, что и для $x = -1, 0, 1$ неравенство выполняется. Например, для $x=1$: $0.25 \log_{4\sqrt{3}}(7) \le \log_3(5)$. $\log_3(5) \approx 1.46$. $0.25\log_{4\sqrt{3}}(7) = 0.25 \frac{\log_3 7}{\log_3(4\sqrt{3})} \approx 0.25 \frac{1.77}{1.76} \approx 0.25$. Неравенство верно.

Таким образом, все целые числа из ОДЗ являются решениями: -2, -1, 0, 1, 2. Всего 5 решений.

Ответ: 5.

в)

Исходное неравенство: $0,5 \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 6x + 24) \le \log_8 (2x + 9)^3$.

1. Найдем ОДЗ.

Аргумент первого логарифма: $x^2 - 6x + 24 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 6x + 24$ всегда положительно.

Аргумент второго логарифма: $2x+9 > 0$, откуда $x > -4.5$.

ОДЗ: $x \in (-4.5, +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию 2.

Левая часть: $0.5 \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 6x + 24) = 0.5 \log_{2^{1/2}}(x^2 - 6x + 24) = 0.5 \cdot 2 \log_2(x^2 - 6x + 24) = \log_2(x^2 - 6x + 24)$.

Правая часть: $\log_8 (2x+9)^3 = \log_{2^3} (2x+9)^3 = \frac{3}{3} \log_2(2x+9) = \log_2(2x+9)$.

Неравенство принимает вид: $\log_2(x^2 - 6x + 24) \le \log_2(2x+9)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к неравенству для аргументов: $x^2 - 6x + 24 \le 2x+9$.

3. Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 8x + 15 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ равны 3 и 5. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [3, 5]$.

4. Пересечем решение с ОДЗ: $x \in [3, 5] \cap (-4.5, +\infty)$, что дает $x \in [3, 5]$.

Целочисленными решениями на этом отрезке являются числа 3, 4, 5. Их количество — 3.

Ответ: 3.

г)

Исходное неравенство: $\log_3 \left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right)^{-1} + \log_{1/3} 9 \ge 0$.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен: $\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right)^{-1} > 0$, что равносильно $-x^2 + \frac{10x}{9} > 0$.

Умножим на -9, изменив знак неравенства: $9x^2 - 10x < 0$.

$x(9x-10) < 0$. Корни левой части: $x=0$ и $x=10/9$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (0, 10/9)$.

2. Упростим неравенство. Вычислим второй член: $\log_{1/3} 9 = \log_{3^{-1}} 3^2 = \frac{2}{-1} \log_3 3 = -2$.

Преобразуем первый член: $\log_3 \left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right)^{-1} = -\log_3\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right)$.

Неравенство принимает вид: $-\log_3\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) - 2 \ge 0$.

$-\log_3\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) \ge 2$.

$\log_3\left(-x^2 + \frac{10x}{9}\right) \le -2$.

3. Так как основание логарифма $3 > 1$, можем потенцировать неравенство:

$-x^2 + \frac{10x}{9} \le 3^{-2}$.

$-x^2 + \frac{10x}{9} \le \frac{1}{9}$.

Умножим на 9: $-9x^2 + 10x \le 1$, что равносильно $9x^2 - 10x + 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $9x^2 - 10x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 100 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 64$. Корни $x_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{18}$, то есть $x_1 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $x_2 = \frac{18}{18} = 1$.

Решение неравенства $9x^2 - 10x + 1 \ge 0$: $x \in (-\infty, 1/9] \cup [1, +\infty)$.

4. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0, 10/9)$.

$(0, 10/9) \cap ((-\infty, 1/9] \cup [1, +\infty)) = (0, 1/9] \cup [1, 10/9)$.

5. Найдем целочисленные решения. Промежуток $(0, 1/9]$ (т.е. $(0, 0.111...]$) не содержит целых чисел. Промежуток $[1, 10/9)$ (т.е. $[1, 1.111...)$) содержит одно целое число: 1.

Таким образом, существует единственное целочисленное решение.

Ответ: 1.