Номер 18.31, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.31, страница 115.

18.31. a) $\log_x \sqrt{21 - 4x} > 1;$

б) $\log_x \frac{x+3}{x-1} > 1.$

а) $\log_x \sqrt{21-4x} > 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма $\sqrt{21-4x}$ должен быть строго положительным. Так как корень не может быть отрицательным, достаточно потребовать, чтобы подкоренное выражение было строго положительным:$21 - 4x > 0 \implies 21 > 4x \implies x < \frac{21}{4} \implies x < 5.25$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5.25)$.

Далее, решение неравенства зависит от значения основания $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Представим $1$ как $\log_x x$.
$\log_x \sqrt{21-4x} > \log_x x \implies \sqrt{21-4x} < x$.
Так как в рассматриваемом случае $x>0$, обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат:
$21 - 4x < x^2$
$x^2 + 4x - 21 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$. Используя, например, теорему Виета, получаем корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 + 4x - 21$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая $x \in (0, 1)$:
$\left( (-\infty, -7) \cup (3, \infty) \right) \cap (0, 1) = \emptyset$.
В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание $x > 1$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется:
$\log_x \sqrt{21-4x} > \log_x x \implies \sqrt{21-4x} > x$.
Обе части неравенства положительны (так как $x > 1$, а корень всегда неотрицателен и по ОДЗ строго положителен), возводим в квадрат:
$21 - 4x > x^2$
$x^2 + 4x - 21 < 0$.
Корни мы уже нашли: $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-7, 3)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x>1$) и ОДЗ ($x \in (1, 5.25)$):
$(-7, 3) \cap (1, \infty) = (1, 3)$.
Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговое решение неравенства.
Ответ: $(1, 3)$

---

б) $\log_x \frac{x+3}{x-1} > 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма: $\frac{x+3}{x-1} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-3$ и $x=1$.
Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, \infty)$, получаем, что выражение положительно при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.
Пересекая все условия ОДЗ, получаем: $\left( (0, 1) \cup (1, \infty) \right) \cap \left( (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \right) = (1, \infty)$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 1$.

Поскольку из ОДЗ следует, что основание логарифма $x > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Значит, при потенцировании знак неравенства сохраняется.
$\log_x \frac{x+3}{x-1} > 1 \implies \log_x \frac{x+3}{x-1} > \log_x x$
$\frac{x+3}{x-1} > x$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x+3}{x-1} - x > 0$
$\frac{x+3 - x(x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{x+3 - x^2 + x}{x-1} > 0$
$\frac{-x^2 + 2x + 3}{x-1} > 0$
Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x-1} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов.
Корни числителя $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Корень знаменателя: $x_3 = 1$.
Наносим точки $-1, 1, 3$ на числовую ось и определяем знаки выражения $\frac{(x+1)(x-3)}{x-1}$ на полученных интервалах.
Выражение отрицательно при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, 3)$.
Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 1$):
$\left( (-\infty, -1) \cup (1, 3) \right) \cap (1, \infty) = (1, 3)$.
Ответ: $(1, 3)$