Номер 18.35, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.35, страница 115.

18.35. a) $\log_{1/2} \log_{1/3} \left(\frac{1}{27} + \frac{2 \sin x}{27}\right) < -1;$

б) $\log_3 \log_4 (96 + 64 \cos x) \ge 1.$

а)

Рассмотрим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}} \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{27} + \frac{2 \sin x}{27}\right) < -1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1+2\sin x}{27}\right) > 0 \\ \frac{1+2\sin x}{27} > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы следует $ 1+2\sin x > 0 $, то есть $ \sin x > -\frac{1}{2} $.

Решим первое неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, то функция является убывающей, и при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: $ \frac{1+2\sin x}{27} < \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies \frac{1+2\sin x}{27} < 1 \implies 1+2\sin x < 27 \implies \sin x < 13 $. Это неравенство выполняется при любых значениях $ x $, поскольку $ \sin x \le 1 $.

Таким образом, ОДЗ определяется условием $ \sin x > -\frac{1}{2} $.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется:

$ \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1+2\sin x}{27}\right) > \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \implies \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1+2\sin x}{27}\right) > 2 $.

Основание внутреннего логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, поэтому знак неравенства снова меняется:

$ \frac{1+2\sin x}{27} < \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies \frac{1+2\sin x}{27} < \frac{1}{9} $.

Отсюда $ 1+2\sin x < 3 $, что дает $ 2\sin x < 2 $, или $ \sin x < 1 $.

Совмещая полученное условие с ОДЗ, получаем систему $ \begin{cases} \sin x > -\frac{1}{2} \\ \sin x < 1 \end{cases} $, что равносильно двойному неравенству $ -\frac{1}{2} < \sin x < 1 $.

На единичной окружности этому условию соответствуют значения $ x $, для которых $ x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k) $ и $ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

б)

Рассмотрим неравенство $ \log_3 \log_4 (96 + 64 \cos x) \ge 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$ \begin{cases} \log_4(96 + 64 \cos x) > 0 \\ 96 + 64 \cos x > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства: $ 64 \cos x > -96 \implies \cos x > -\frac{96}{64} \implies \cos x > -1.5 $. Это верно для любого $ x $, так как $ \cos x \ge -1 $.

Из первого неравенства, учитывая, что основание $ 4 > 1 $, функция является возрастающей и знак неравенства сохраняется: $ 96 + 64 \cos x > 4^0 \implies 96 + 64 \cos x > 1 \implies 64 \cos x > -95 \implies \cos x > -\frac{95}{64} $. Это также верно для любого $ x $.

Следовательно, ОДЗ — все действительные числа, $ x \in \mathbb{R} $.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $ 3 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ \log_4(96 + 64 \cos x) \ge 3^1 \implies \log_4(96 + 64 \cos x) \ge 3 $.

Основание внутреннего логарифма $ 4 > 1 $, поэтому знак неравенства также сохраняется:

$ 96 + 64 \cos x \ge 4^3 \implies 96 + 64 \cos x \ge 64 $.

Упростим полученное неравенство: $ 64 \cos x \ge 64 - 96 \implies 64 \cos x \ge -32 \implies \cos x \ge -\frac{1}{2} $.

Решим тригонометрическое неравенство $ \cos x \ge -\frac{1}{2} $. На единичной окружности этому условию соответствуют углы из промежутка $ [-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] $ с учетом периодичности.

Ответ: $ x \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.