Номер 18.39, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.39, страница 116.

18.39. Решите неравенство:

a) $ \log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 \cdot \log_2 4x > 1; $

б) $ \log_x 5 \cdot \log_{5x} 5 \cdot \log_5 625x < 1. $

a) Решим неравенство $\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 \cdot \log_2 4x > 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице, а аргументы логарифмов — положительны.
Из $\log_x 2$ следует $x > 0$ и $x \neq 1$.
Из $\log_{2x} 2$ следует $2x > 0 \implies x > 0$ и $2x \neq 1 \implies x \neq 1/2$.
Из $\log_2 4x$ следует $4x > 0 \implies x > 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1/2$, $x \neq 1$.

Для решения неравенства приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Воспользуемся формулой замены основания логарифма $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и свойствами логарифма:
$\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \frac{1}{\log_2 x}$
$\log_{2x} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2(2x)} = \frac{1}{\log_2 2 + \log_2 x} = \frac{1}{1 + \log_2 x}$
$\log_2 4x = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
$\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{1 + \log_2 x} \cdot (2 + \log_2 x) > 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:
$\frac{2 + t}{t(1 + t)} > 1$
$\frac{2 + t}{t(1 + t)} - 1 > 0$
$\frac{2 + t - t(1 + t)}{t(1 + t)} > 0$
$\frac{2 + t - t - t^2}{t(1 + t)} > 0$
$\frac{2 - t^2}{t(1 + t)} > 0$
$\frac{(\sqrt{2} - t)(\sqrt{2} + t)}{t(1 + t)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $t = -\sqrt{2}$, $t = -1$, $t = 0$, $t = \sqrt{2}$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определив знаки выражения на каждом интервале, находим, что неравенство выполняется при $t \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (0, \sqrt{2})$.

Теперь выполним обратную замену $t = \log_2 x$:
1) $-\sqrt{2} < \log_2 x < -1$. Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $2^{-\sqrt{2}} < x < 2^{-1}$, то есть $\frac{1}{2^{\sqrt{2}}} < x < \frac{1}{2}$.
2) $0 < \log_2 x < \sqrt{2}$. Аналогично, $2^0 < x < 2^{\sqrt{2}}$, то есть $1 < x < 2^{\sqrt{2}}$.

Оба полученных интервала удовлетворяют ОДЗ. Объединяем их.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2^{\sqrt{2}}}, \frac{1}{2}) \cup (1, 2^{\sqrt{2}})$.

б) Решим неравенство $\log_x 5 \cdot \log_{5x} 5 \cdot \log_5 625x < 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из $\log_x 5$ следует $x > 0$ и $x \neq 1$.
Из $\log_{5x} 5$ следует $5x > 0 \implies x > 0$ и $5x \neq 1 \implies x \neq 1/5$.
Из $\log_5 625x$ следует $625x > 0 \implies x > 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1/5$, $x \neq 1$.

Приведем все логарифмы к основанию 5:
$\log_x 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 x} = \frac{1}{\log_5 x}$
$\log_{5x} 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5(5x)} = \frac{1}{\log_5 5 + \log_5 x} = \frac{1}{1 + \log_5 x}$
$\log_5 625x = \log_5 625 + \log_5 x = \log_5 5^4 + \log_5 x = 4 + \log_5 x$

Подставим полученные выражения в неравенство:
$\frac{1}{\log_5 x} \cdot \frac{1}{1 + \log_5 x} \cdot (4 + \log_5 x) < 1$

Сделаем замену $t = \log_5 x$:
$\frac{4 + t}{t(1 + t)} < 1$
$\frac{4 + t}{t(1 + t)} - 1 < 0$
$\frac{4 + t - t(1 + t)}{t(1 + t)} < 0$
$\frac{4 - t^2}{t(1 + t)} < 0$
$\frac{(2 - t)(2 + t)}{t(1 + t)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов для $t$. Критические точки: $t = -2$, $t = -1$, $t = 0$, $t = 2$. Анализируя знаки на интервалах, получаем решение: $t \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (2, +\infty)$.

Выполним обратную замену $t = \log_5 x$:
1) $t < -2 \implies \log_5 x < -2$. Так как основание $5 > 1$, получаем $0 < x < 5^{-2}$, то есть $0 < x < \frac{1}{25}$.
2) $-1 < t < 0 \implies -1 < \log_5 x < 0$. Получаем $5^{-1} < x < 5^0$, то есть $\frac{1}{5} < x < 1$.
3) $t > 2 \implies \log_5 x > 2$. Получаем $x > 5^2$, то есть $x > 25$.

Все полученные интервалы решений входят в ОДЗ. Объединяем их.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{25}) \cup (\frac{1}{5}, 1) \cup (25, +\infty)$.