Номер 18.45, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.45, страница 116.

18.45. a) $log_{0.5} \left( log_2 \left( log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x} \right) \right) > 0;$

б) $log_2 \left( log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{3x - 1}{x + 1} \right) \right) > 0;$

в) $log_{0.2} \left( log_{0.3} \left( log_{0.4} \frac{1}{x + 1} \right) \right) < 0;$

г) $log_{\frac{1}{2}} \left( log_8 \left( \frac{x^2 - 2x}{x - 3} \right) \right) < 0.$

а) $ \log_{0,5}\left(\log_{2}\left(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}\right)\right) > 0 $

Исходное неравенство равносильно системе неравенств, учитывающей области определения логарифмов на каждом шаге.

1. Внешний логарифм имеет основание $0,5 < 1$, поэтому при его снятии знак неравенства меняется на противоположный. Также аргумент логарифма должен быть положительным. $ \log_{0,5}(A) > 0 \implies 0 < A < 0,5^0 \implies 0 < A < 1 $. Здесь $ A = \log_{2}\left(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}\right) $. Получаем двойное неравенство: $ 0 < \log_{2}\left(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}\right) < 1 $

2. Решаем полученное двойное неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знаки неравенств сохраняются. $ 2^0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x} < 2^1 $ $ 1 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x} < 2 $

3. Решаем следующее двойное неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные. $ \left(\frac{1}{3}\right)^2 < \frac{1}{x} < \left(\frac{1}{3}\right)^1 $ $ \frac{1}{9} < \frac{1}{x} < \frac{1}{3} $

4. Так как все части неравенства положительны, то $x$ должен быть положителен ($x > 0$). Можем взять обратные величины, поменяв знаки неравенства: $ 9 > x > 3 $ Или $ 3 < x < 9 $. Это решение удовлетворяет всем неявно введённым ограничениям на область определения.

Ответ: $ x \in (3, 9) $.

б) $ \log_{2}\left(\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3x - 1}{x + 1}\right)\right) > 0 $

1. Внешний логарифм имеет основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется. $ \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3x - 1}{x + 1}\right) > 2^0 $ $ \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3x - 1}{x + 1}\right) > 1 $

2. Следующий логарифм имеет основание $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется. Также аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. $ 0 < \frac{3x - 1}{x + 1} < \left(\frac{1}{3}\right)^1 $ $ 0 < \frac{3x - 1}{x + 1} < \frac{1}{3} $

3. Решаем систему из двух неравенств: $ \begin{cases} \frac{3x - 1}{x + 1} > 0 \\ \frac{3x - 1}{x + 1} < \frac{1}{3} \end{cases} $

Решаем первое неравенство $ \frac{3x - 1}{x + 1} > 0 $ методом интервалов. Нули числителя $x = 1/3$, нуль знаменателя $x = -1$. Решение: $ x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{1}{3}, +\infty) $.

Решаем второе неравенство: $ \frac{3x - 1}{x + 1} - \frac{1}{3} < 0 $ $ \frac{3(3x - 1) - (x + 1)}{3(x + 1)} < 0 $ $ \frac{9x - 3 - x - 1}{3(x + 1)} < 0 $ $ \frac{8x - 4}{3(x + 1)} < 0 $ $ \frac{2x - 1}{x + 1} < 0 $ Методом интервалов (нули $x=1/2$ и $x=-1$) получаем решение: $ x \in (-1, \frac{1}{2}) $.

4. Находим пересечение решений двух неравенств: $ ( (-\infty, -1) \cup (\frac{1}{3}, +\infty) ) \cap (-1, \frac{1}{2}) $ Пересечением является интервал $ (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right) $.

в) $ \log_{0,2}\left(\log_{0,3}\left(\log_{0,4}\frac{1}{x+1}\right)\right) < 0 $

1. Основание внешнего логарифма $0,2 < 1$, меняем знак неравенства: $ \log_{0,3}\left(\log_{0,4}\frac{1}{x+1}\right) > (0,2)^0 $ $ \log_{0,3}\left(\log_{0,4}\frac{1}{x+1}\right) > 1 $

2. Основание следующего логарифма $0,3 < 1$, снова меняем знак. Также аргумент должен быть положителен. $ 0 < \log_{0,4}\frac{1}{x+1} < (0,3)^1 $ $ 0 < \log_{0,4}\frac{1}{x+1} < 0,3 $

3. Основание внутреннего логарифма $0,4 < 1$, меняем знаки двойного неравенства: $ (0,4)^{0,3} < \frac{1}{x+1} < (0,4)^0 $ $ (0,4)^{0,3} < \frac{1}{x+1} < 1 $

4. Все части неравенства положительны, значит $x+1 > 0$, т.е. $x > -1$. Возьмем обратные величины, поменяв знаки неравенства: $ \frac{1}{1} > x+1 > \frac{1}{(0,4)^{0,3}} $ $ 1 > x+1 > \left(\frac{1}{0,4}\right)^{0,3} $ $ 1 > x+1 > (2,5)^{0,3} $

5. Вычтем 1 из всех частей неравенства: $ 1 - 1 > x > (2,5)^{0,3} - 1 $ $ 0 > x > (2,5)^{0,3} - 1 $

Оценим значение $ (2,5)^{0,3} - 1 $. Поскольку $2,5 > 1$, то $ (2,5)^{0,3} > 1^{0,3} = 1 $. Следовательно, $ (2,5)^{0,3} - 1 > 0 $. Получается неравенство $ 0 > x > k $, где $k$ — положительное число. Невозможно, чтобы число $x$ было одновременно меньше нуля и больше положительного числа. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: $ \emptyset $ (решений нет).

г) $ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{8}\left(\frac{x^2 - 2x}{x - 3}\right)\right) < 0 $

1. Основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому меняем знак неравенства: $ \log_{8}\left(\frac{x^2 - 2x}{x - 3}\right) > \left(\frac{1}{2}\right)^0 $ $ \log_{8}\left(\frac{x^2 - 2x}{x - 3}\right) > 1 $

2. Основание внутреннего логарифма $8 > 1$, знак неравенства сохраняется: $ \frac{x^2 - 2x}{x - 3} > 8^1 $ $ \frac{x^2 - 2x}{x - 3} > 8 $

3. Решаем полученное рациональное неравенство: $ \frac{x^2 - 2x}{x - 3} - 8 > 0 $ $ \frac{x^2 - 2x - 8(x - 3)}{x - 3} > 0 $ $ \frac{x^2 - 2x - 8x + 24}{x - 3} > 0 $ $ \frac{x^2 - 10x + 24}{x - 3} > 0 $

4. Решаем методом интервалов. Находим корни числителя: $ x^2 - 10x + 24 = 0 $ По теореме Виета, корни $x_1 = 4$, $x_2 = 6$. Неравенство принимает вид: $ \frac{(x - 4)(x - 6)}{x - 3} > 0 $

Наносим на числовую ось точки $x=3$, $x=4$, $x=6$ и определяем знаки на интервалах $ (-\infty, 3) $, $ (3, 4) $, $ (4, 6) $, $ (6, +\infty) $.

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $4 < x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $ x \in (3, 4) \cup (6, +\infty) $.