Номер 18.48, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.48, страница 117.

18.48. a) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства $log_2(5-x) > log_{0.5}x - 6$.

б) Найдите наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства $\frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)} \le 0$.

a)

Решим неравенство $\log_{2}(5 - x) > \log_{0,5}x - 6$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 5)$.

2. Приведем логарифмы к одному основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_{0,5}x = \log_{2^{-1}}x = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 x}{-1} = -\log_2 x$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{2}(5 - x) > -\log_2 x - 6$

$\log_{2}(5 - x) + \log_2 x > -6$

3. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{2}((5 - x)x) > -6$

$\log_{2}(5x - x^2) > -6$

Представим правую часть как логарифм по основанию 2:

$-6 = -6 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^{-6} = \log_2 \frac{1}{64}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{2}(5x - x^2) > \log_2 \frac{1}{64}$

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:

$5x - x^2 > \frac{1}{64}$

$x^2 - 5x + \frac{1}{64} < 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + \frac{1}{64} = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = 25 - \frac{4}{64} = 25 - \frac{1}{16} = \frac{400 - 1}{16} = \frac{399}{16}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{\frac{399}{16}}}{2} = \frac{5 \pm \frac{\sqrt{399}}{4}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{399}}{8}$.

Парабола $y = x^2 - 5x + \frac{1}{64}$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + \frac{1}{64} < 0$ выполняется между корнями:

$\frac{20 - \sqrt{399}}{8} < x < \frac{20 + \sqrt{399}}{8}$

6. Совместим полученное решение с ОДЗ $x \in (0; 5)$. Оценим значения корней:

Так как $19^2 = 361$ и $20^2 = 400$, то $19 < \sqrt{399} < 20$.

$x_1 = \frac{20 - \sqrt{399}}{8}$: $0 < \frac{20 - 20}{8} < x_1 < \frac{20 - 19}{8} = \frac{1}{8}$. То есть $0 < x_1 < 0.125$.

$x_2 = \frac{20 + \sqrt{399}}{8}$: $4.875 = \frac{20 + 19}{8} < x_2 < \frac{20 + 20}{8} = 5$.

Интервал решения $(\frac{20 - \sqrt{399}}{8}; \frac{20 + \sqrt{399}}{8})$ полностью входит в ОДЗ $(0; 5)$.

7. Найдем все целые числа, принадлежащие этому интервалу. Так как $0 < \frac{20 - \sqrt{399}}{8} < 1$ и $4 < \frac{20 + \sqrt{399}}{8} < 5$, целыми решениями являются числа 1, 2, 3, 4.

8. Найдем сумму этих целых чисел:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10

б)

Решим неравенство $\frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 3 > 0 & \text{(аргумент логарифма больше нуля)} \\ \log_{100}(x - 3) \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)} \end{cases}$

$\begin{cases} x > 3 \\ x - 3 \ne 100^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x - 3 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x \ne 4 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $41x - 4x^2 - 100 = 0$.

Умножим на -1: $4x^2 - 41x + 100 = 0$.

Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 100 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2$.

Корни: $x_1 = \frac{41 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.

$x_2 = \frac{41 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} = 6.25$.

Нуль знаменателя: $\log_{100}(x-3) = 0 \implies x - 3 = 1 \implies x = 4$.

3. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель меняют знак, с учетом ОДЗ. Это точки $x=4$ и $x=6.25$. Точка $x=4$ (нуль знаменателя) будет выколотой, точка $x=6.25$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Рассмотрим знаки выражения на интервалах, входящих в ОДЗ $(3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Пусть $f(x) = \frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)}$.

• Интервал $(3; 4)$: Возьмем $x=3.5$.
  Числитель: $41(3.5) - 4(3.5)^2 - 100 = 143.5 - 4(12.25) - 100 = 143.5 - 49 - 100 = -5.5 < 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(3.5 - 3) = \log_{100}(0.5) < 0$.
  $f(x) = \frac{-}{-} > 0$.
• Интервал $(4; 6.25)$: Возьмем $x=5$.
  Числитель: $41(5) - 4(5)^2 - 100 = 205 - 100 - 100 = 5 > 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(5 - 3) = \log_{100}(2) > 0$.
  $f(x) = \frac{+}{+} > 0$.
• Интервал $(6.25; +\infty)$: Возьмем $x=10$.
  Числитель: $41(10) - 4(10)^2 - 100 = 410 - 400 - 100 = -90 < 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(10 - 3) = \log_{100}(7) > 0$.
  $f(x) = \frac{-}{+} < 0$.

Неравенство $\le 0$ выполняется на интервале $(6.25; +\infty)$ и в точке, где числитель равен нулю, то есть $x=6.25$.

Объединяя, получаем решение: $x \in [6.25; +\infty)$.

4. Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ... . Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $x \ge 6.25$, это 7.

Ответ: 7