Номер 18.53, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.53, страница 117.

18.53. При каких значениях $a$ хотя бы одно целое число из интервала $(-\sqrt{51}; \lg 0,1)$ является решением неравенства
$\log_a^2(1 - x) - 3 \ge 0.5 \log_a (x - 1)^4$?

1. Определение целых чисел из заданного интервала

Сначала найдем все целые числа $x$, которые принадлежат интервалу $(-\sqrt{51}; \lg 0,1)$.

Оценим границы интервала:

Левая граница: $-\sqrt{51}$. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $7 < \sqrt{51} < 8$. Следовательно, $-8 < -\sqrt{51} < -7$.

Правая граница: $\lg 0,1 = \log_{10}(10^{-1}) = -1$.

Таким образом, интервал $(-\sqrt{51}; -1)$ содержит следующие целые числа: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых хотя бы одно из этих чисел является решением данного неравенства.

2. Упрощение и анализ неравенства

Рассмотрим неравенство $\log_a^2(1-x) - 3 \ge 0.5 \log_a (x-1)^4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется следующими условиями:

1. Основание логарифма: $a > 0$ и $a \ne 1$.
2. Аргумент логарифма: $1 - x > 0$, что означает $x < 1$.
3. Аргумент логарифма: $(x-1)^4 > 0$, что означает $x \ne 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$ и $x < 1$. Все найденные нами целые числа ($-7, -6, \dots, -2$) удовлетворяют условию $x < 1$.

Упростим правую часть неравенства, используя свойство логарифма $\log_b(c^p) = p \log_b c$ и тождество $(x-1)^4 = (-(1-x))^4 = (1-x)^4$. Так как по ОДЗ $1-x > 0$, преобразование будет корректным:

$0.5 \log_a (x-1)^4 = 0.5 \log_a (1-x)^4 = 0.5 \cdot 4 \log_a(1-x) = 2 \log_a(1-x)$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_a^2(1-x) - 3 \ge 2 \log_a(1-x)$

$\log_a^2(1-x) - 2 \log_a(1-x) - 3 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_a(1-x)$. Неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 3$.

Так как парабола $y = t^2 - 2t - 3$ ветвями направлена вверх, решением неравенства является объединение промежутков $t \le -1$ и $t \ge 3$.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность двух неравенств:

$\log_a(1-x) \le -1$ или $\log_a(1-x) \ge 3$.

3. Решение логарифмических неравенств относительно параметра $a$

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта совокупность выполняется хотя бы для одного целого $x \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2\}$.

Пусть $y = 1-x$. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого целого $x$:

• $x = -7 \implies y = 1 - (-7) = 8$
• $x = -6 \implies y = 1 - (-6) = 7$
• $x = -5 \implies y = 1 - (-5) = 6$
• $x = -4 \implies y = 1 - (-4) = 5$
• $x = -3 \implies y = 1 - (-3) = 4$
• $x = -2 \implies y = 1 - (-2) = 3$

Таким образом, задача сводится к нахождению таких $a$, что хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ выполняется совокупность $\log_a y \le -1$ или $\log_a y \ge 3$.

Рассмотрим два случая для основания логарифма $a$.

Случай 1: $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция $f(z) = \log_a z$ является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

Из $\log_a y \le -1 = \log_a(a^{-1})$ следует $y \ge a^{-1}$, то есть $y \ge \frac{1}{a}$, откуда $a \ge \frac{1}{y}$.

Из $\log_a y \ge 3 = \log_a(a^3)$ следует $y \le a^3$, откуда $a \ge \sqrt[3]{y}$. Но так как $y \ge 3$, то $\sqrt[3]{y} > \sqrt[3]{1} = 1$. Условие $a \ge \sqrt[3]{y}$ не имеет решений в рассматриваемом интервале $0 < a < 1$.

Следовательно, для $0 < a < 1$ совокупность равносильна неравенству $a \ge \frac{1}{y}$.

Нам нужно, чтобы это условие выполнялось хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это означает, что $a$ должно удовлетворять объединению неравенств:

$a \ge \frac{1}{3}$ или $a \ge \frac{1}{4}$ или ... или $a \ge \frac{1}{8}$.

Объединением этих условий является $a \ge \frac{1}{8}$. Учитывая ограничение $0 < a < 1$, получаем решение для первого случая: $a \in [\frac{1}{8}, 1)$.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция $f(z) = \log_a z$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

Из $\log_a y \le -1 = \log_a(a^{-1})$ следует $y \le a^{-1}$, то есть $y \le \frac{1}{a}$, откуда $a \le \frac{1}{y}$. Но так как $y \ge 3$, то $\frac{1}{y} \le \frac{1}{3}$. Условие $a \le \frac{1}{y}$ не имеет решений при $a > 1$.

Из $\log_a y \ge 3 = \log_a(a^3)$ следует $y \ge a^3$, откуда $a \le \sqrt[3]{y}$.

Следовательно, для $a > 1$ совокупность равносильна неравенству $a \le \sqrt[3]{y}$.

Нам нужно, чтобы это условие выполнялось хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это означает, что $a$ должно удовлетворять объединению неравенств:

$a \le \sqrt[3]{3}$ или $a \le \sqrt[3]{4}$ или ... или $a \le \sqrt[3]{8}$.

Объединением этих условий является $a \le \max\{\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{4}, \dots, \sqrt[3]{8}\}$. Максимальное значение в этом наборе — $\sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, получаем $a \le 2$.

Учитывая ограничение $a > 1$, получаем решение для второго случая: $a \in (1, 2]$.

4. Объединение результатов

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все искомые значения параметра $a$.

Из первого случая: $a \in [\frac{1}{8}, 1)$.

Из второго случая: $a \in (1, 2]$.

Итоговое множество значений $a$ является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $a \in [\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 2]$.