Номер 19.1, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.1, страница 117.

19.1. Постройте график функции:

а) $y = e^{x+4}$;

б) $y = e^{-x} + 1$;

в) $y = e^{x-3}$;

г) $y = e^{x-2} - 3$.

а) $y = e^{x+4}$
Для построения графика функции $y = e^{x+4}$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y_0 = e^x$.
1. Базовый график — это график показательной функции $y_0 = e^x$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox), когда $x$ стремится к $-\infty$.
2. График функции $y = e^{x+4}$ получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Ox на 4 единицы влево. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$.
Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(x_0-4, y_0)$ на графике $y=e^{x+4}$.
Найдем несколько ключевых точек для построения:
– Точка $(0, 1)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(-4, 1)$. Проверка: $y(-4) = e^{-4+4} = e^0 = 1$.
– Точка $(1, e)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(-3, e)$. Проверка: $y(-3) = e^{-3+4} = e^1 = e \approx 2.72$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0+4} = e^4 \approx 54.6$. Точка $(0, e^4)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге влево не изменяется.

Ответ: График функции $y = e^{x+4}$ является копией графика функции $y = e^x$, сдвинутой на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Он проходит через точки $(-4, 1)$ и $(-3, e)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

б) $y = e^{-x} + 1$
Для построения графика функции $y = e^{-x} + 1$ выполним последовательные преобразования графика $y_0 = e^x$.
1. Сначала построим график функции $y_1 = e^{-x}$. Он получается из графика $y_0 = e^x$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$. График $y_1 = e^{-x}$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Затем построим график функции $y = e^{-x} + 1$. Он получается из графика $y_1 = e^{-x}$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)+b$ при $b=1$.
Найдем ключевые точки для построения:
– Точка $(0, 1)$ на графике $y_1=e^{-x}$ сдвигается вверх и переходит в точку $(0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy: $y(0) = e^{-0} + 1 = 1+1=2$.
– Точка $(-1, e)$ на графике $y_1=e^{-x}$ переходит в точку $(-1, e+1)$. Проверка: $y(-1) = e^{-(-1)} + 1 = e+1 \approx 3.72$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y_1=e^{-x}$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится $y=1$ для итогового графика.

Ответ: График функции $y = e^{-x} + 1$ получается из графика $y = e^x$ путем его отражения относительно оси Oy и последующего сдвига на 1 единицу вверх. График является убывающей кривой, проходящей через точки $(0, 2)$ и $(-1, e+1)$. Горизонтальная асимптота — $y=1$.

в) $y = e^{x-3}$
Для построения графика функции $y = e^{x-3}$ воспользуемся преобразованием графика $y_0 = e^x$.
1. Базовый график — $y_0 = e^x$.
2. График функции $y = e^{x-3}$ получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига вдоль оси Ox на 3 единицы вправо. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=3$.
Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(x_0+3, y_0)$ на графике $y=e^{x-3}$.
Найдем несколько ключевых точек для построения:
– Точка $(0, 1)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(3, 1)$. Проверка: $y(3) = e^{3-3} = e^0 = 1$.
– Точка $(1, e)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(4, e)$. Проверка: $y(4) = e^{4-3} = e^1 = e \approx 2.72$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0-3} = e^{-3} \approx 0.05$. Точка $(0, e^{-3})$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не изменяется.

Ответ: График функции $y = e^{x-3}$ является копией графика функции $y = e^x$, сдвинутой на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Он проходит через точки $(3, 1)$, $(4, e)$ и $(0, e^{-3})$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

г) $y = e^{x-2} - 3$
Для построения графика функции $y = e^{x-2} - 3$ выполним последовательные преобразования графика $y_0 = e^x$.
1. Сначала построим график функции $y_1 = e^{x-2}$. Он получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Асимптота остается $y=0$.
2. Затем построим график функции $y = e^{x-2} - 3$. Он получается из графика $y_1 = e^{x-2}$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
Найдем ключевые точки для построения:
– Базовая точка $(0, 1)$ графика $y=e^x$ после сдвига на 2 вправо и на 3 вниз переходит в точку $(0+2, 1-3) = (2, -2)$. Проверка: $y(2) = e^{2-2} - 3 = e^0 - 3 = 1-3 = -2$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0-2} - 3 = e^{-2} - 3 \approx 0.135 - 3 = -2.865$. Точка $(0, e^{-2}-3)$.
– Точка пересечения с осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $e^{x-2} - 3 = 0$, откуда $e^{x-2} = 3$. Логарифмируя по основанию $e$, имеем $x-2 = \ln 3$, то есть $x = 2 + \ln 3 \approx 2 + 1.0986 = 3.0986$. Точка $(2+\ln 3, 0)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y_1$ сдвигается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$ для итогового графика.

Ответ: График функции $y = e^{x-2} - 3$ получается из графика $y = e^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. График проходит через точки $(2, -2)$, $(0, e^{-2}-3)$ и $(2+\ln 3, 0)$. Горизонтальная асимптота — $y=-3$.