Номер 18.47, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.47, страница 117.

18.47. а) $\frac{\log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3)}{\lg x - \log_{20} x} \ge \log_5 20;$

б) $\frac{\log_4(2 - x) - \log_6(2 - x)}{\log_6 x - \log_9 x} \le \log_4 9.$

а)

Решим неравенство:

$$ \frac{\log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3)}{\lg x - \log_{20} x} \ge \log_5 20 $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x > 0 \\ \lg x - \log_{20} x \ne 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $x > 1.5$. Это условие является более строгим, чем $x > 0$.

Рассмотрим условие для знаменателя: $\lg x - \log_{20} x \ne 0$. Используя формулу перехода к новому основанию, получаем $\lg x - \frac{\lg x}{\lg 20} \ne 0$, что можно записать как $\lg x \left(1 - \frac{1}{\lg 20}\right) \ne 0$. Это выражение обращается в ноль только при $\lg x = 0$, то есть при $x=1$.

Так как $x > 1.5$, условие $x \ne 1$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x > 1.5$.

2. Упростим левую часть неравенства, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Перейдем к десятичному логарифму ($\lg$).

Преобразуем числитель:

$$ \log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3) = \frac{\lg(2x - 3)}{\lg 5} - \lg(2x - 3) = \lg(2x - 3) \left( \frac{1}{\lg 5} - 1 \right) = \lg(2x - 3) \frac{1 - \lg 5}{\lg 5} = \lg(2x - 3) \frac{\lg 10 - \lg 5}{\lg 5} = \lg(2x - 3) \frac{\lg 2}{\lg 5} $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \lg x - \log_{20} x = \lg x - \frac{\lg x}{\lg 20} = \lg x \left( 1 - \frac{1}{\lg 20} \right) = \lg x \frac{\lg 20 - 1}{\lg 20} = \lg x \frac{\lg 20 - \lg 10}{\lg 20} = \lg x \frac{\lg 2}{\lg 20} $$

Подставим упрощенные выражения в левую часть неравенства:

$$ \frac{\lg(2x - 3) \frac{\lg 2}{\lg 5}}{\lg x \frac{\lg 2}{\lg 20}} = \frac{\lg(2x - 3)}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 20}{\lg x} = \frac{\lg(2x-3)}{\lg x} \cdot \frac{\lg 20}{\lg 5} $$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, получаем:

$$ \log_x(2x-3) \cdot \log_5 20 $$

3. Неравенство принимает вид:

$$ \log_x(2x-3) \cdot \log_5 20 \ge \log_5 20 $$

Так как $20 > 5$, то $\log_5 20 > \log_5 5 = 1$. Следовательно, $\log_5 20$ — положительное число, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак.

$$ \log_x(2x-3) \ge 1 $$

Представим 1 как $\log_x x$:

$$ \log_x(2x-3) \ge \log_x x $$

Согласно ОДЗ, $x > 1.5$, значит, основание логарифма $x > 1$. Для основания больше 1 логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

$$ 2x - 3 \ge x $$

$$ x \ge 3 $$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > 1.5$). Решение $x \ge 3$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство:

$$ \frac{\log_4(2 - x) - \log_6(2 - x)}{\log_6 x - \log_9 x} \le \log_4 9 $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x > 0 \\ \log_6 x - \log_9 x \ne 0 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств следует, что $0 < x < 2$.

Рассмотрим знаменатель: $\log_6 x - \log_9 x \ne 0$. Это равенство $\log_6 x = \log_9 x$ выполняется только при $x=1$, так как $\frac{\ln x}{\ln 6} = \frac{\ln x}{\ln 9}$ эквивалентно $\ln x = 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.

2. Упростим левую часть неравенства, используя формулу перехода к новому основанию. Перейдем к натуральному логарифму ($\ln$).

Преобразуем числитель:

$$ \log_4(2 - x) - \log_6(2 - x) = \frac{\ln(2 - x)}{\ln 4} - \frac{\ln(2 - x)}{\ln 6} = \ln(2-x) \left( \frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 6} \right) = \ln(2-x) \frac{\ln 6 - \ln 4}{\ln 4 \ln 6} = \ln(2-x) \frac{\ln(3/2)}{\ln 4 \ln 6} $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \log_6 x - \log_9 x = \frac{\ln x}{\ln 6} - \frac{\ln x}{\ln 9} = \ln x \left( \frac{1}{\ln 6} - \frac{1}{\ln 9} \right) = \ln x \frac{\ln 9 - \ln 6}{\ln 6 \ln 9} = \ln x \frac{\ln(3/2)}{\ln 6 \ln 9} $$

Подставим упрощенные выражения в дробь (так как $x \ne 1$, то $\ln(3/2) \ne 0$, и мы можем на него сократить):

$$ \frac{\ln(2-x) \frac{\ln(3/2)}{\ln 4 \ln 6}}{\ln x \frac{\ln(3/2)}{\ln 6 \ln 9}} = \frac{\ln(2-x)}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 9}{\ln x} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 4} $$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, получаем:

$$ \log_x(2-x) \cdot \log_4 9 $$

3. Неравенство принимает вид:

$$ \log_x(2-x) \cdot \log_4 9 \le \log_4 9 $$

Так как $9 > 4$, то $\log_4 9 > \log_4 4 = 1$. Это положительное число, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака.

$$ \log_x(2-x) \le 1 $$

Представим 1 как $\log_x x$:

$$ \log_x(2-x) \le \log_x x $$

Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма $x$, согласно ОДЗ.

Случай 1: $x \in (1; 2)$. В этом случае основание $x > 1$, и логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется.

$$ 2 - x \le x $$

$$ 2 \le 2x $$

$$ 1 \le x $$

Пересечение решения $x \ge 1$ с интервалом $x \in (1; 2)$ дает $x \in (1; 2)$.

Случай 2: $x \in (0; 1)$. В этом случае основание $0 < x < 1$, и логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный.

$$ 2 - x \ge x $$

$$ 2 \ge 2x $$

$$ 1 \ge x $$

Пересечение решения $x \le 1$ с интервалом $x \in (0; 1)$ дает $x \in (0; 1)$.

4. Объединим решения, полученные в двух случаях.

Общим решением является объединение интервалов: $(0; 1) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.