Номер 18.46, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.46, страница 117.

18.46. a) $log_{5x - 4x^2} (4^{-x}) > 0;$

б) $log_{-5x^2 - 6x} (6^x) > 0.$

а)

Решим неравенство $\log_{5x - 4x^2} (4^{-x}) > 0$.

Данное неравенство равносильно системе, полученной с использованием метода рационализации для логарифмов:

$\begin{cases} 5x - 4x^2 > 0 \\ 5x - 4x^2 \neq 1 \\ 4^{-x} > 0 \\ (5x - 4x^2 - 1)(4^{-x} - 1) > 0 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив первые три условия системы.

1. $4^{-x} > 0$ - верно для любого действительного $x$.

2. $5x - 4x^2 > 0 \implies x(5 - 4x) > 0$. Решением является интервал $x \in (0, \frac{5}{4})$.

3. $5x - 4x^2 \neq 1 \implies 4x^2 - 5x + 1 \neq 0$. Корни квадратного трехчлена $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = 1$. Следовательно, $x \neq \frac{1}{4}$ и $x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; 1) \cup (1; \frac{5}{4})$.

Теперь решим основное неравенство на ОДЗ:

$(5x - 4x^2 - 1)(4^{-x} - 1) > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(4x^2 - 5x + 1)(4^{-x} - 1) < 0$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(4x-1)(x-1)(4^{-x} - 1) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов на ОДЗ.

Нули множителей: $x = \frac{1}{4}, x = 1, x = 0$.

Рассмотрим знак произведения на интервалах, входящих в ОДЗ:

- На интервале $(0; \frac{1}{4})$: выражение $(+ \text{число} - 1)(+ \text{число} - 1)(4^{-\text{число}} - 1)$ имеет вид $(-)(-)(-) = (-)$. Неравенство $(< 0)$ выполняется.

- На интервале $(\frac{1}{4}; 1)$: выражение имеет вид $(+)(-)(-) = (+)$. Неравенство не выполняется.

- На интервале $(1; \frac{5}{4})$: выражение имеет вид $(+)(+)(-) = (-)$. Неравенство $(< 0)$ выполняется.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{4}) \cup (1; \frac{5}{4})$.

б)

Решим неравенство $\log_{-5x^2 - 6x} (6^x) > 0$.

Используем метод рационализации. Неравенство $\log_{a(x)} f(x) > 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} a(x) > 0 \\ a(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ (a(x)-1)(f(x)-1) > 0 \end{cases}$

В нашем случае $a(x) = -5x^2 - 6x$ и $f(x) = 6^x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $6^x > 0$ - верно для любого $x$.

2. $-5x^2 - 6x > 0 \implies 5x^2 + 6x < 0 \implies x(5x+6) < 0$. Корни $x=0$ и $x=-\frac{6}{5}$. Решение: $x \in (-\frac{6}{5}, 0)$.

3. $-5x^2 - 6x \neq 1 \implies 5x^2 + 6x + 1 \neq 0$. Корни уравнения $5x^2 + 6x + 1 = 0$ это $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{1}{5}$. Значит $x \neq -1$ и $x \neq -\frac{1}{5}$.

ОДЗ: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-1; -\frac{1}{5}) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.

Теперь решим неравенство $(a(x)-1)(f(x)-1) > 0$ на ОДЗ:

$(-5x^2 - 6x - 1)(6^x - 1) > 0$.

$-(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) > 0$.

$(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) < 0$.

Рассмотрим знаки сомножителей на ОДЗ.

Первый сомножитель $5x^2 + 6x + 1$ имеет корни $x=-1$ и $x=-\frac{1}{5}$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней и отрицательна между ними.

Второй сомножитель $6^x - 1$ равен нулю при $x=0$. Так как в ОДЗ $x < 0$, то $6^x < 1$, и следовательно, $6^x - 1 < 0$ на всей области ОДЗ.

Поскольку второй сомножитель $(6^x - 1)$ всегда отрицателен на ОДЗ, неравенство $(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) < 0$ сводится к $5x^2 + 6x + 1 > 0$.

Решением неравенства $5x^2 + 6x + 1 > 0$ является $x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in ((-\frac{6}{5}; -1) \cup (-1; -\frac{1}{5}) \cup (-\frac{1}{5}; 0)) \cap ((-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty))$.

Пересечение дает: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.

Ответ: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.