Номер 18.42, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.42, страница 116.

18.42. a) $ \begin{cases} \log_{0,1} (x^2 - 12) < \log_{0,1} (-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}} 4x. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8} \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$\begin{cases} x^2 - 12 > 0, \\ -x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x^2 > 12 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{12}) \cup (\sqrt{12}, +\infty)$.

Из второго неравенства: $x < 0$.

Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x < -\sqrt{12}$, то есть $x < -2\sqrt{3}$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $0,1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 12 > -x$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $x^2 + x - 12 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x < -2\sqrt{3}$). Так как $16 > 12$, то $4 > \sqrt{12}$, следовательно, $-4 < -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$.

Таким образом, пересечение множеств $(-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$ и $(-\infty, -2\sqrt{3})$ дает интервал $(-\infty, -4)$.

2. Решим второе неравенство: $2^{x-1} > \frac{1}{8}$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

$2^{x-1} > 2^{-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x - 1 > -3$

$x > -2$

Решение второго неравенства: $x \in (-2, +\infty)$.

3. Найдем решение системы, пересекая решения обоих неравенств:

$\begin{cases} x < -4 \\ x > -2 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше -4 и больше -2. Пересечение множеств $(-\infty, -4)$ и $(-2, +\infty)$ пусто.

Ответ: $\emptyset$

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3^{x^2 - 5x - 4} < 9$.

Представим $9$ как степень тройки: $9 = 3^2$.

$3^{x^2 - 5x - 4} < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x - 4 < 2$

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$.

Решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$ является интервал $(-1, 6)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 + 3 > 0, \\ 4x > 0 \end{cases}$

Неравенство $x^2 + 3 > 0$ верно для любых действительных $x$. Из второго неравенства получаем $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 3 \le 4x$

$x^2 - 4x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $x^2 - 4x + 3 \le 0$ является отрезок $[1, 3]$.

Пересекая это решение с ОДЗ ($x>0$), получаем, что решение второго неравенства системы есть отрезок $[1, 3]$.

3. Найдем решение системы, пересекая решения обоих неравенств:

$\begin{cases} x \in (-1, 6) \\ x \in [1, 3] \end{cases}$

Пересечением интервала $(-1, 6)$ и отрезка $[1, 3]$ является отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $[1, 3]$