Номер 18.36, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.36, страница 115.

18.36. a) $\log_2 x + 1 \ge 2 \log_x 2;$

б) $2 \log_x 5 - 3 \le -\log_5 x.$

а)

Дано неравенство: $\log_2 x + 1 \ge 2 \log_x 2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание - больше нуля и не равно единице.

$x > 0$ и $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_2 x + 1 \ge \frac{2}{\log_2 x}$.

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:

$t + 1 \ge \frac{2}{t}$.

4. Решим полученное рациональное неравенство:

$t + 1 - \frac{2}{t} \ge 0$.

$\frac{t^2 + t - 2}{t} \ge 0$.

Найдем корни числителя: $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Разложим числитель на множители: $(t-1)(t+2)$.

Неравенство примет вид:

$\frac{(t-1)(t+2)}{t} \ge 0$.

5. Решим неравенство методом интервалов для переменной $t$. Отметим на числовой оси точки $t = -2$, $t = 0$, $t = 1$. Точки -2 и 1 будут закрашенными (нестрогое неравенство), а точка 0 - выколотой (знаменатель).

• При $t \in (1, \infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $t \in (0, 1)$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $t \in (-2, 0)$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $t \in (-\infty, -2)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, решение для $t$: $t \in [-2, 0) \cup [1, \infty)$.

6. Вернемся к исходной переменной $x$, где $t = \log_2 x$.

Получаем совокупность двух систем неравенств:

$\left[ \begin{gathered} -2 \le \log_2 x < 0 \\ \log_2 x \ge 1 \end{gathered} \right.$

Решим первое неравенство: $-2 \le \log_2 x < 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, знаки неравенства сохраняются при потенцировании.

$2^{-2} \le x < 2^0 \implies \frac{1}{4} \le x < 1$.

Решим второе неравенство: $\log_2 x \ge 1$.

$x \ge 2^1 \implies x \ge 2$.

7. Объединим решения и учтем ОДЗ ($x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$).

Решение $[\frac{1}{4}, 1)$ полностью входит в ОДЗ.

Решение $[2, \infty)$ полностью входит в ОДЗ.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}, 1) \cup [2, \infty)$.

б)

Дано неравенство: $2 \log_x 5 - 3 \le -\log_5 x$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание - больше нуля и не равно единице.

$x > 0$ и $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем неравенство, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$2 \log_x 5 + \log_5 x - 3 \le 0$.

$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{2}{\log_5 x} + \log_5 x - 3 \le 0$.

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Неравенство примет вид:

$\frac{2}{t} + t - 3 \le 0$.

4. Решим полученное рациональное неравенство:

$\frac{2 + t^2 - 3t}{t} \le 0$.

$\frac{t^2 - 3t + 2}{t} \le 0$.

Найдем корни числителя: $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Разложим числитель на множители: $(t-1)(t-2)$.

Неравенство примет вид:

$\frac{(t-1)(t-2)}{t} \le 0$.

5. Решим неравенство методом интервалов для переменной $t$. Отметим на числовой оси точки $t = 0$, $t = 1$, $t = 2$. Точки 1 и 2 будут закрашенными, а точка 0 - выколотой.

• При $t \in (2, \infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал не подходит.
• При $t \in (1, 2)$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $t \in (0, 1)$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Интервал не подходит.
• При $t \in (-\infty, 0)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решение для $t$: $t \in (-\infty, 0) \cup [1, 2]$.

6. Вернемся к исходной переменной $x$, где $t = \log_5 x$.

Получаем совокупность двух систем неравенств:

$\left[ \begin{gathered} \log_5 x < 0 \\ 1 \le \log_5 x \le 2 \end{gathered} \right.$

Решим первое неравенство: $\log_5 x < 0$. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$x < 5^0 \implies x < 1$.

Решим второе неравенство: $1 \le \log_5 x \le 2$.

$5^1 \le x \le 5^2 \implies 5 \le x \le 25$.

7. Объединим решения и учтем ОДЗ ($x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$).

Решение $x < 1$ с учетом ОДЗ дает $x \in (0, 1)$.

Решение $5 \le x \le 25$ полностью входит в ОДЗ.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup [5, 25]$.