Номер 18.30, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.30, страница 115.

18.30. a) $\log_{3x-1} 16 < 2;$

б) $\log_{x-2} 27 < 3.$

а)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{3x-1}{16} < 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $3x-1$ должно быть положительным и не равным единице:

$\begin{cases} 3x-1 > 0 \\ 3x-1 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 1 \\ 3x \neq 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x \neq \frac{2}{3} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Представим число 2 в виде логарифма с основанием $3x-1$:

$2 = 2 \cdot \log_{3x-1}{(3x-1)} = \log_{3x-1}{(3x-1)^2}$

Теперь неравенство можно записать так:

$\log_{3x-1}{16} < \log_{3x-1}{(3x-1)^2}$

Дальнейшее решение зависит от значения основания логарифма. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$3x-1 > 1 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$16 < (3x-1)^2$

$16 < 9x^2 - 6x + 1$

$0 < 9x^2 - 6x - 15$

Разделив обе части на 3, получим: $3x^2 - 2x - 5 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = -1$, $x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 2x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 2x - 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Учитывая условие этого случая $x > \frac{2}{3}$, получаем решение: $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 3x-1 < 1 \implies 1 < 3x < 2 \implies \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$16 > (3x-1)^2$

$0 > 9x^2 - 6x - 15$

$3x^2 - 2x - 5 < 0$.

Корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$ нам уже известны: $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Неравенство $3x^2 - 2x - 5 < 0$ выполняется при $x \in (-1; \frac{5}{3})$.

Учитывая условие этого случая $\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$, получаем решение: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим окончательный ответ.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

---

б)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{x-2}{27} < 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x-2$ должно быть положительным и не равным единице:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Представим число 3 в виде логарифма с основанием $x-2$:

$3 = \log_{x-2}{(x-2)^3}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{x-2}{27} < \log_{x-2}{(x-2)^3}$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$27 < (x-2)^3$

$3^3 < (x-2)^3$

Так как функция $y=t^3$ монотонно возрастает, то можно извлечь кубический корень из обеих частей, сохранив знак неравенства:

$3 < x-2 \implies x > 5$.

Пересекая с условием $x > 3$, получаем решение для этого случая: $x \in (5; +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x-2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Логарифмическая функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный:

$27 > (x-2)^3$

$3^3 > (x-2)^3$

$3 > x-2 \implies x < 5$.

Пересекая с условием $2 < x < 3$, получаем решение для этого случая: $x \in (2; 3)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (2; 3) \cup (5; +\infty)$.