Номер 18.34, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.34, страница 115.

18.34. a) $log_{x^2-3} 729 > 3$;

Б) $log_{10-x^2} \left(\frac{16}{5}x - x^2\right) < 1$;

В) $log_{\frac{x-1}{x+5}} 0,3 > 0$;

Г) $log_{4-x} (x^2 - 10) < 2$.

а) $\log_{x^2-3} 729 > 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$\begin{cases} x^2-3 > 0 \\ x^2-3 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 > 3 \\ x^2 \neq 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty) \\ x \neq \pm 2 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2) \cup (2; \infty)$.
2. Решим неравенство, рассмотрев два случая.

Случай 1: Основание больше 1.
$x^2 - 3 > 1 \implies x^2 > 4 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
В этом случае знак неравенства сохраняется:
$729 > (x^2-3)^3$
Так как $729 = 9^3$, получаем:
$9^3 > (x^2-3)^3$
$9 > x^2-3$
$12 > x^2 \implies x^2 < 12 \implies -\sqrt{12} < x < \sqrt{12} \implies -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3}$.
Найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая: $x \in (-2\sqrt{3}; -2) \cup (2; 2\sqrt{3})$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание от 0 до 1.
$0 < x^2 - 3 < 1$.
$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ x^2 - 3 < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 > 3 \\ x^2 < 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; \infty) \\ x \in (-2; 2) \end{cases}$
Пересечение этих интервалов: $x \in (-2; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2)$.
В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:
$729 < (x^2-3)^3$
$9^3 < (x^2-3)^3$
$9 < x^2-3$
$12 < x^2 \implies x^2 > 12 \implies x \in (-\infty; -2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3}; \infty)$.
Пересечение этого решения с условием для данного случая $x \in (-2; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2)$ пусто, так как $2\sqrt{3} > 2$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-2\sqrt{3}; -2) \cup (2; 2\sqrt{3})$.

б) $\log_{10-x^2} \left(\frac{16}{5}x - x^2\right) < 1$

1. Найдем ОДЗ.
$\begin{cases} \frac{16}{5}x - x^2 > 0 \\ 10-x^2 > 0 \\ 10-x^2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x(\frac{16}{5} - x) > 0 \\ x^2 < 10 \\ x^2 \neq 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (0; 3.2) \\ x \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10}) \\ x \neq \pm 3 \end{cases}$
Так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, пересечением является интервал $x \in (0; 3) \cup (3; \sqrt{10})$.2. Решим неравенство, рассмотрев два случая.

Случай 1: Основание больше 1.
$10 - x^2 > 1 \implies 9 > x^2 \implies -3 < x < 3$.
С учетом ОДЗ, интервал для этого случая: $x \in (0; 3)$.
Знак неравенства сохраняется:
$\frac{16}{5}x - x^2 < 10 - x^2$
$\frac{16}{5}x < 10 \implies x < \frac{50}{16} \implies x < \frac{25}{8} \implies x < 3.125$.
Пересекая с интервалом случая $x \in (0; 3)$, получаем решение: $x \in (0; 3)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1.
$0 < 10 - x^2 < 1 \implies 9 < x^2 < 10 \implies x \in (-\sqrt{10}; -3) \cup (3; \sqrt{10})$.
С учетом ОДЗ, интервал для этого случая: $x \in (3; \sqrt{10})$.
Знак неравенства меняется:
$\frac{16}{5}x - x^2 > 10 - x^2$
$\frac{16}{5}x > 10 \implies x > \frac{25}{8} \implies x > 3.125$.
Пересекая с интервалом случая $x \in (3; \sqrt{10})$, получаем решение: $x \in (\frac{25}{8}; \sqrt{10})$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (0; 3) \cup (\frac{25}{8}; \sqrt{10})$.

в) $\log_{\frac{x-1}{x+5}} 0.3 > 0$

1. Найдем ОДЗ.
$\begin{cases} \frac{x-1}{x+5} > 0 \\ \frac{x-1}{x+5} \neq 1 \end{cases}$.
Первое неравенство $\frac{x-1}{x+5} > 0$ методом интервалов дает $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.
Второе условие $\frac{x-1}{x+5} \neq 1 \implies x-1 \neq x+5 \implies -1 \neq 5$, что верно для любого $x$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.2. Представим 0 как логарифм: $0 = \log_{\frac{x-1}{x+5}} 1$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{x-1}{x+5}} 0.3 > \log_{\frac{x-1}{x+5}} 1$.

Случай 1: Основание больше 1.
$\frac{x-1}{x+5} > 1 \implies \frac{x-1}{x+5} - 1 > 0 \implies \frac{x-1-(x+5)}{x+5} > 0 \implies \frac{-6}{x+5} > 0$.
Это неравенство выполняется при $x+5 < 0$, то есть $x < -5$.
При таком основании знак неравенства сохраняется: $0.3 > 1$. Это ложное утверждение, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Основание от 0 до 1.
$0 < \frac{x-1}{x+5} < 1$. Из ОДЗ мы знаем, что $\frac{x-1}{x+5} > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.
Решим $\frac{x-1}{x+5} < 1 \implies \frac{-6}{x+5} < 0$, что выполняется при $x+5 > 0$, то есть $x > -5$.
Пересечение $x > -5$ и $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$ дает $x \in (1; \infty)$.
При таком основании знак неравенства меняется: $0.3 < 1$. Это истинное утверждение.
Следовательно, решением является весь интервал для этого случая: $x \in (1; \infty)$.

Ответ: $x \in (1; \infty)$.

г) $\log_{4-x} (x^2 - 10) < 2$

1. Найдем ОДЗ.
$\begin{cases} x^2-10 > 0 \\ 4-x > 0 \\ 4-x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 > 10 \\ x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; \infty) \\ x < 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$
Так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, пересечением является $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3) \cup (3; 4)$.2. Решим неравенство, рассмотрев два случая.

Случай 1: Основание больше 1.
$4-x > 1 \implies x < 3$.
Пересечение с ОДЗ дает интервал для этого случая: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3)$.
Знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 10 < (4-x)^2$
$x^2 - 10 < 16 - 8x + x^2$
$-10 < 16 - 8x \implies 8x < 26 \implies x < \frac{13}{4} \implies x < 3.25$.
Пересекая $x < 3.25$ с интервалом случая $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3)$, получаем решение: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1.
$0 < 4-x < 1 \implies 3 < x < 4$.
Пересечение с ОДЗ дает интервал для этого случая: $x \in (\sqrt{10}; 3) \cup (3; 4)$ и $3 < x < 4$. Общий интервал $x \in (3;4)$. Так как $\sqrt{10} \approx 3.16 > 3$, пересечение $x \in (\sqrt{10}; 4)$ и $3 < x < 4$ дает $x \in (\sqrt{10}; 4)$.
Знак неравенства меняется:
$x^2 - 10 > (4-x)^2$
$x^2 - 10 > 16 - 8x + x^2$
$-10 > 16 - 8x \implies 8x > 26 \implies x > \frac{13}{4} \implies x > 3.25$.
Пересекая $x > 3.25$ с интервалом случая $x \in (\sqrt{10}; 4)$, получаем решение: $x \in (\frac{13}{4}; 4)$, так как $\frac{13}{4} = 3.25 > \sqrt{10}$.

Объединяя решения из двух случаев: $(-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3) \cup (\frac{13}{4}; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; 3) \cup (\frac{13}{4}; 4)$.