Номер 18.29, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.29, страница 115.

Решите неравенство:

18.29. a) $\log_{5x-1} 2 \le 0$;

б) $\log_{3x+4} 0,2 > 0$;

В) $\log_{2-3x} 5 > 0$;

Г) $\log_{5-x} 0,3 \le 0$.

а) $\log_{5x-1} 2 \le 0$

Данное неравенство определено (имеет смысл) при выполнении следующих условий (Область допустимых значений - ОДЗ):

Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

$\begin{cases} 5x-1 > 0 \\ 5x-1 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x > 1 \\ 5x \neq 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/5 \\ x \neq 2/5 \end{cases}$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $2 > 0$, что всегда верно.

ОДЗ: $x \in (1/5, 2/5) \cup (2/5, \infty)$.

Представим 0 как логарифм по тому же основанию: $0 = \log_{5x-1} 1$.

Неравенство принимает вид: $\log_{5x-1} 2 \le \log_{5x-1} 1$.

Далее решение зависит от значения основания. Рассмотрим два случая:

1. Если основание больше 1: $5x-1 > 1 \implies 5x > 2 \implies x > 2/5$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется:
$2 \le 1$.
Это неравенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если основание находится в интервале от 0 до 1: $0 < 5x-1 < 1 \implies 1 < 5x < 2 \implies 1/5 < x < 2/5$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:
$2 \ge 1$.
Это неравенство верно. Таким образом, все значения $x$ из интервала $(1/5, 2/5)$ являются решением.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (1/5, 2/5)$.

б) $\log_{3x+4} 0,2 > 0$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+4 > 0 \\ 3x+4 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > -4 \\ 3x \neq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4/3 \\ x \neq -1 \end{cases}$

Аргумент $0,2 > 0$ всегда верно.

ОДЗ: $x \in (-4/3, -1) \cup (-1, \infty)$.

Представим 0 как $\log_{3x+4} 1$. Неравенство: $\log_{3x+4} 0,2 > \log_{3x+4} 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если основание больше 1: $3x+4 > 1 \implies 3x > -3 \implies x > -1$.
Знак неравенства сохраняется:
$0,2 > 1$.
Это неверно, решений в этом случае нет.

2. Если основание от 0 до 1: $0 < 3x+4 < 1 \implies -4 < 3x < -3 \implies -4/3 < x < -1$.
Знак неравенства меняется на противоположный:
$0,2 < 1$.
Это неравенство верно. Решением является весь рассматриваемый интервал $(-4/3, -1)$.

Ответ: $x \in (-4/3, -1)$.

в) $\log_{2-3x} 5 > 0$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2-3x > 0 \\ 2-3x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 > 3x \\ 1 \neq 3x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2/3 \\ x \neq 1/3 \end{cases}$

Аргумент $5 > 0$ всегда верно.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1/3) \cup (1/3, 2/3)$.

Представим 0 как $\log_{2-3x} 1$. Неравенство: $\log_{2-3x} 5 > \log_{2-3x} 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если основание больше 1: $2-3x > 1 \implies 1 > 3x \implies x < 1/3$.
Знак неравенства сохраняется:
$5 > 1$.
Это неравенство верно. Решением является весь рассматриваемый интервал $(-\infty, 1/3)$.

2. Если основание от 0 до 1: $0 < 2-3x < 1 \implies -2 < -3x < -1 \implies 1 < 3x < 2 \implies 1/3 < x < 2/3$.
Знак неравенства меняется на противоположный:
$5 < 1$.
Это неверно, решений в этом случае нет.

Ответ: $x \in (-\infty, 1/3)$.

г) $\log_{5-x} 0,3 \le 0$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 5-x > 0 \\ 5-x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Аргумент $0,3 > 0$ всегда верно.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, 5)$.

Представим 0 как $\log_{5-x} 1$. Неравенство: $\log_{5-x} 0,3 \le \log_{5-x} 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если основание больше 1: $5-x > 1 \implies 4 > x \implies x < 4$.
Знак неравенства сохраняется:
$0,3 \le 1$.
Это неравенство верно. Решением является весь рассматриваемый интервал $(-\infty, 4)$.

2. Если основание от 0 до 1: $0 < 5-x < 1 \implies -5 < -x < -4 \implies 4 < x < 5$.
Знак неравенства меняется на противоположный:
$0,3 \ge 1$.
Это неверно, решений в этом случае нет.

Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.